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| Aufgabe | | Welche Steigung m muss eine Gerade durch den Koordinatenursprung haben, damit sie mit dem Schaubild von f mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] eine Fläche mit dem Flächeninhalt [mm] 10\bruch{2}{3} [/mm] einschließt? |
Hallo!
Ich weiß leider nicht genau wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll.
Die Geradengleichung ist ja: y=mx+d
d ist in dem Fall ja 0
Ich wollte versuchen die Fläche von 0 bis t zu berechnen..
da habe ich dann [mm] \bruch{1}{3}t^3 [/mm] rausbekommen..
und das habe ich dann mit [mm] 10\bruch{2}{3} [/mm] gleichgesetzt und kam dann auf [mm] \wurzel[3]{32}
[/mm]
müsste ich dann nochmal die Fläche zwischen g(x)=mx (Gerade) und [mm] f(x)=x^2 [/mm] im Intervall [mm] [0;\wurzel[3]{32}] [/mm] ?
aber ich weiß nicht genau was mir das bringen würde..
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Hallo, d=0 ist ok, du hast [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und g(x)=m*x, es gilt
(1) [mm] \integral_{0}^{t}{f(x)-g(x) dx}=\integral_{0}^{t}{x^{2}-m*x dx}=\bruch{32}{3} [/mm] wobei t die Schnittstelle beider Funktionen ist
(2) f(t)=g(t) also [mm] t^{2}=m*t
[/mm]
löse (1), stelle (2) z.B. nach m um, dann in (1) einsetzen, du bekommst die Schnittstelle t, der Anstieg m sollte dann kein Problem mehr sein, [mm] m_1=... [/mm] und [mm] m_2=... [/mm]
Steffi
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hey danke,
also ich habe das jetzt ausgerechnet und bin auf die Steigung m=4 gekommen.
Wieso m1 und m2? Es ist doch nur nach einer Steigung m gesucht oder?
$ [mm] \integral_{0}^{t}{f(x)-g(x) dx} [/mm] darf ich hier eigentlich auch g(x) und f(x) tauschen?
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Hallo!
> hey danke,
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> also ich habe das jetzt ausgerechnet und bin auf die
> Steigung m=4 gekommen.
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> Wieso m1 und m2? Es ist doch nur nach einer Steigung m
> gesucht oder?
Es gibt zwei Möglichkeiten [mm] $m_1 [/mm] = 4$ und [mm] $m_2 [/mm] = -4$.
> $ [mm]\integral_{0}^{t}{f(x)-g(x) dx}[/mm] darf ich hier eigentlich
> auch g(x) und f(x) tauschen?
Nein, weil nach einem Flächeninhalt gesucht ist. Und der ist positiv, d.h. du musst wissen welche Funktion über der anderen liegt in diesem Intervall [0,t] (An dieser Stelle übrigens legst du fest, dass m nur positiv sein darf...). Du dürftest allerdings g(x) und f(x) vertauschen, wenn du Betragsstriche um das Integral machst:
[mm] $\left|\int_{0}^{t}f(x) - g(x) dx \right| [/mm] = [mm] \left|\int_{0}^{t}g(x) - f(x) dx \right|$
[/mm]
Das hat den Vorteil, dass du nicht vorher überlegen musst, ob f nun über g liegt oder nicht. Dafür musst nach dem ausrechnen des Integrals den Betrag auswerten, was aber nicht so schwierig ist.
Um genau zu sein, solltest du das mit den Betragsstrichen sogar machen, weil du sonst nicht auf die zweiten Lösung [mm] $m_2 [/mm] = -4$ kommst.
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Das sähe dann so aus:
1. Schnittpunkte herausfinden:
$f(x) = m*x = [mm] x^2 [/mm] = g(x)$, also [mm] $x_1 [/mm] = 0$ und [mm] $x_2 [/mm] = m$
2. Flächeninhaltsgleichung:
[mm] $\frac{32}{3} [/mm] = [mm] \left|\int_{0}^{m}f(x) - g(x) dx \right| [/mm] = [mm] \left|\int_{0}^{m}m*x - x^2 dx \right| [/mm] = [mm] \left|\Big[\frac{1}{2}mx^2 - \frac{1}{3}x^3\Big]_0^{m} \right| [/mm] = [mm] \frac{1}{6}*\left|m^3\right|$.
[/mm]
Daraus folgt
$64 = [mm] |m|^3$.
[/mm]
Du siehst, es gibt zwei Lösungen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Phoenix22 |
Ahh stimmt, danke!
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