Gerade durch Punkt C < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 14.12.2008 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Die Punkte O(0/0/0), A(8/0/0), B(0/6/0) und [mm] C_{t}(0/t/4) [/mm] mit t [mm] \in \IR [/mm] sind die Eckpunkte der Pyramide [mm] OABC_{t}.
[/mm]
a). Bestimmen Sie Gleichung der Geraden g, auf der alle Punkte [mm] C_{t} [/mm] liegen. |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen, bin aber gerade etwas verwirrt...
Ich habe es so verstanden, dass auf der Gerade jetzt nur Punkte [mm] C_{t} [/mm] liegen sollen, O, A, B interessieren uns also in diesem Teil nicht.
Geradengelichung sieht ja immer so aus, dass ein Ortsvektor und Richtungsvektor gebraucht werden und ein Paramete vor Richtungsvektor.
Aber die Gleichung sieht dann doch so aus:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ t \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ t \\ 4}
[/mm]
Oder nicht? es erscheint mir aber etwas komische, weil der Ortsvektor nicht der Richtungvektor sein darf, ist das so?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße
sardelka
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Hi, sardelka,
> Die Punkte O(0/0/0), A(8/0/0), B(0/6/0) und [mm]C_{t}(0/t/4)[/mm]
> mit t [mm]\in \IR[/mm] sind die Eckpunkte der Pyramide [mm]OABC_{t}.[/mm]
>
> a). Bestimmen Sie Gleichung der Geraden g, auf der alle
> Punkte [mm]C_{t}[/mm] liegen.
> Ich habe es so verstanden, dass auf der Gerade jetzt nur
> Punkte [mm]C_{t}[/mm] liegen sollen, O, A, B interessieren uns also
> in diesem Teil nicht.
So ist es!
> Geradengelichung sieht ja immer so aus, dass ein Ortsvektor
> und Richtungsvektor gebraucht werden und ein Parameter vor
> Richtungsvektor.
Wieder richtig!
> Aber die Gleichung sieht dann doch so aus:
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ t \\ 4}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ t \\ 4}[/mm]
>
> Oder nicht?
"Oder nicht" ist richtig, d.h. Deine Gleichung ist falsch 
Also pass auf: Die Sache ist doch so gemeint, dass eine Gerade entsteht, wenn t alle reellen Zahlen durchläuft.
t=0: C(0/0/4)
t=1: C(0/1/4)
t=2: C(0/2/4)
etc. liegen also alle auf einer Geraden.
Das einzige, was bei einer Geraden variiert, ist der Parameter.
Demnach ist t bei uns der Parameter!
Daher kannst Du schreiben:
g : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ t \\ 4}
[/mm]
oder auch:
g : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 4} [/mm] + t* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Alternative:
Natürlich könntest Du auch sagen:
Wenn alle Punkte [mm] C_{t} [/mm] laut Angabe auf einer Geraden liegen, dann nehm' ich einfach 2 davon, z.B. [mm] C_{0}(0/0/4) [/mm] und [mm] C_{1}(0/1/4)
[/mm]
und mach' eine Gerade draus.
(2 Punkte reichen ja für das Aufstellen einer Geradengleichung vollständig aus!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 14.12.2008 | | Autor: | sardelka |
hmm.. ist zwar logisch, aber komisch, weil solche Geradengleichungen lange nicht mehr gesehen habe. )))
Aber... muss eigentlich nicht immer ein Parameter vor Richtungsvektor stehen?
Und wenn nicht, könnte ich doch trotzdem g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{0 \\ t \\ 4} [/mm] schreiben, ist doch kein Fehler, oder?
Vielen Dank
sardelka
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Hi, sardelka,
> hmm.. ist zwar logisch, aber komisch, weil solche
> Geradengleichungen lange nicht mehr gesehen habe. )))
>
> Aber... muss eigentlich nicht immer ein Parameter vor
> Richtungsvektor stehen?
Du kannst den Parameter genauso gut in den Vektor hineinmultiplizieren.
Dass man ihn vor den Richtungsvektor schreibt, dient nur der Übersichtlichkeit!
> Und wenn nicht, könnte ich doch trotzdem g: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\lambda \vektor{0 \\ t \\ 4}[/mm] schreiben, ist doch kein
> Fehler, oder?
Doch! Setz' mal z.B. [mm] \lambda [/mm] = 0 und Du erhältst den Punkt P(0/0/0): Und der liegt ja nun sicher nicht auf der gesuchten Geraden. Eigentlich liegen bei diesem Vorschlag sogar nur die Punkte, die Du für [mm] \lambda [/mm] = 1 erhältst, auf der Geraden.
Insgesamt erhältst Du mit Deiner Schreibweise eine (unvollständige und in unüblicher Weise geschriebene) Ebenengleichung mit dem Nullpunkt als Aufpunkt.
Denn merke:
1 (ein!) Parameter => Gerade
2 Parameter => Ebene
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 14.12.2008 | | Autor: | sardelka |
Hmmmm..?? Das habe ich jetzt nicht verstanden.
Also, wenn ich 2 Richtungsvektoren habe, dann klar Ebene, und ein RV dann Gerade.
Aber zuerst schreibst du zu mir, dass ich gerne ein Paramter vorsetzen kann und darf.
Dann schreibst du, dass ich es nicht darf. =/
Das mit dem Beispiel habe ich verstanden, stimmt.
-> Ich darf kein Parameter vorschreiben.
Vorsichtshalber: ich verstehe unter Paramter das [mm] \lambda [/mm] usw. Da sind wir uns einig, oder?
Dann müsste ja mein Fazit richtig sein, kein Parameter vorschreiben.
Aber was meintest du dann mit:
"Du kannst den Parameter genauso gut in den Vektor hineinmultiplizieren.
Dass man ihn vor den Richtungsvektor schreibt, dient nur der Übersichtlichkeit!"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zwerglein hat dir doch 2 vernünftige Vorschläge gemacht:
a) 2 Punkte, also 2 verschieden t Werte, die Gerade dadurch. b) oder ein Punkt, zBsp t=0 und dann statt t lambda oder t lassen.
und [mm] \lambda [/mm] UND t sind 2 Parameter.
Gruss leduart
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