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Es seien die Punkte A(3/3/6) B(2/3/2) C(-2/7/6) und P(2/0/2), Q(1/1/3) gegeben. Untersuche, ob eine Seite des Dreiecks ABC auf der Gerade (PQ) liegt, oder parallel dazu ist.
Ich habe als erstes die Geradengleichung von PQ aufgestellt
g: (2/0/2) + t* (-1/1/1)
Dann habe ich die Gleichungen der Vektoren AB, AC und BC aufgestellt
AB (3/3/6) + r* (-1/0/4)
AC (3/3/6) + p* (-5/4/0)
BC (2/3/2) + s* (-4/4/4)
Dann habe ich jeden der Vektoren mit der Geradengleichung gleich gesetzt. (ist das soweit alles richtig)
Dann habe ich versucht r, t, s und p der jeweiligen Gleichungen auszurechnen, jedoch gibt es für kein LGS eine Lösung.
Meine Frage ist jetzt wie ich prüfen kann, ob die Seiten des Dreiecks parallel zur Geraden sind oder sogar identisch?
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> Es seien die Punkte A(3/3/6) B(2/3/2) C(-2/7/6) und
> P(2/0/2), Q(1/1/3) gegeben. Untersuche, ob eine Seite des
> Dreiecks ABC auf der Gerade (PQ) liegt, oder parallel dazu
> ist.
>
> Ich habe als erstes die Geradengleichung von PQ aufgestellt
> g: (2/0/2) + t* (-1/1/1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich die Gleichungen der Vektoren AB, AC und BC
> aufgestellt
> AB (3/3/6) + r* (-1/0/4)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $(3/3/6)+r\cdot [/mm] (-1/0/-4)$ wäre meiner Meinung nach richtig.
> AC (3/3/6) + p* (-5/4/0)
> BC (2/3/2) + s* (-4/4/4)
>
> Dann habe ich jeden der Vektoren mit der Geradengleichung
> gleich gesetzt. (ist das soweit alles richtig)
Es handelt sich eigentlich um Geradengleichungen (Parameterform). Und ja, im Prinzip kannst Du so vorgehen: falls es unendlich viele Lösungen gibt, fallen die Geraden zusammen (sind also parallel und zusammenfallend). Aber wenn es keine Lösung gibt, weisst Du (noch) nicht, ob die Geraden parallel und nicht-zusammenfallend oder zueinander windschief sind.
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> Dann habe ich versucht r, t, s und p der jeweiligen
> Gleichungen auszurechnen, jedoch gibt es für kein LGS eine
> Lösung.
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> Meine Frage ist jetzt wie ich prüfen kann, ob die Seiten
> des Dreiecks parallel zur Geraden sind oder sogar
> identisch?
Die Richtung dieser Geraden $AB$, $AC$ und $BC$ bzw. $PQ$ wird durch den Richtungsvektor der Parameterform festgelegt. Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn der Richtungsvektor der einen Geraden ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors der anderen Geraden ist.
Weil die Gleichungen [mm] $(-1/1/1)=s\cdot [/mm] (-1/0/-4)$ und [mm] $(-1/1/1)=s\cdot [/mm] (-5/4/0)$ beide keine Lösung $s$ haben, sind die Geraden $AB$ und $AC$ zu $PQ$ nicht parallel.
Weil der Richtungsvektor $(-4/4/4)$ von $BC$ gleich dem $4$-fachen des Richtungsvektors $(-1/1/1)$ von $PQ$ ist, sind $BC$ und $PQ$ parallel.
Nun musst Du noch prüfen, ob $BC$ und $PQ$ sogar zusammenfallen. Dazu genügt es zu prüfen, ob ein Punkt von $BC$ auf $PQ$ liegt, ob es also z.B. ein $t$ gibt, so dass $(2/3/2)=(2/0/2) + t* (-1/1/1)$ gilt. Falls ja, fallen $BC$ und $PQ$ sogar zusammen.
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