Gerade und Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
| Aufgabe | Zeige, dass die Gerade und die Ebene parallel leigen und berechne ihren abstand von E--
1.) [mm] g:x=\vektor{3\\ -9\\-9}+t\vektor{0\\ 1\\-1}
[/mm]
E: [mm] \vektor{7\\ -4\\-4}*\vec{x}-3=0 [/mm] |
Hallo!
Ich bin irgendwie aufgeschmissen...mich verwirrt alleine schon die Ebenengleichung, die so merkwürdig (jedenfalls anders als sonst) aussieht....und wie überprüfe ich die parallelität? das ausrechnen des abstandes sollte nachher mir eg. keine Probleme bereiten, aber der weg dahin...
Ich bitte dringend um Hilfe....
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Hallo Miranda,
vllt hilft dir das weiter:
[mm]\vektor{7\\ -4\\-4}\cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-3=0[/mm]
Parallel ist das Ganze, wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder der RV der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
Das ist wirklich lieb von dir, aber helfen tut es mir leider nciht....ich stehe total aufm schlauch...oje.....möchte das doch so gerne rauskriegen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 04.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Miranda!
Weise über das  Skalarprodukt nach, dass der Normalenvektior der Ebene sowie der Richtungsvektor der Geraden senkrecht aufeinander stehen:
[mm] $\vec{n}_E*\vec{r}_g [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$
Zudem solltest Du zeigen, dass der Stützpunkt der Geraden nicht in $E_$ liegt. Damit weißt du, dass Gerade $g_$ und Ebene $E_$ echt parallel sind.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
naja..das is alles lieb gemeint, aber mein problem fängt damit an, dass ich nicht erkenne was der richtungsvektor der geraden ist?!? ..x1-3???
naja ich weiss ja was das skalarprodukt ist etc...aber ich versteh nicht wie diese geradengleichung aussieht..das is nicht normal^^
[mm] E=\vektor{x \\ y\\g}+r\vektor{x \\ y\\h}+s\vektor{x \\ y\\h} [/mm] <----das wäre normal!!
naja dann würde ich dass ja mit dem richungsvektor machen..
und [mm] \vektor{3 \\ -9\\-9} [/mm] soll nicht in E liegen. also am besten in die koordinatengleichung einsetzen oder?..die ich ja leider auch nicht hab(bzw.aufstellen kann..)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
mhm..ich kenne den normalenform eg, auch...aber naja...mir würde es z.b. helfen wenn ich diese normalenform in die koordinatenfrm bringen würde (damit kenne ich mich besser aus)...allerdings wäre dann meine frage wie man den abstand von einer geraden zu einer ebene berechnet.-.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi, du hast E doch gegeben als:
$ [mm] \vektor{7\\ -4\\-4}\cdot{}\vec{x}-3=0 [/mm] $
Dann kannst du das ganze ohne Probleme in die Koordinatenform birngen, indem du das Skalarprodukt anwendest:
E: 7x1-4x2-4x3-3=0
Gut, nun sollst du zeigen, dass die gegebene Gerade Parallel zur Ebene E ist.
Du hast den Normalenvektor der Ebene gegeben und du hast den Richtungsvektor der Geraden gegeben.
In welcher Beziehung müssen diese beiden Vektoren stehen, damit die Gerade parallel zur Ebene ist (ob die Gerade ECHT Parallel zur Ebene ist, also nicht in der EBene liegt, musst du nach dieser Überprüfung überprüfen).
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
ah,.,,ok..habe nun skalarprodukt überprüft...und das istgleich 0...dann eingestzt in die koordinatenform und ist ungleich...also ist sie nicht lin.abhäng. ...nun muss ich ja den abstand berechnen.,,,aber zwischen ebene und gerade?..wie soll ich da rangehn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du einen Punkt in die Koord.form eingesetzt hast, und du siehst, dass das Ergebnis "nicht passt", dann hast du damit nachgewiesen, dass die Gerade NICHT in der Ebene liegt, d.h. die Gerade ist echt parallel zur Ebene.
Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, so hat jeder Punkt auf der Gerade den selben Abstand zur Ebene.
Kennst du eine Lösung des Problems "Abstand Punkt-Ebene"?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
oje, oje...also dann vllt. A(3|-9|-9) zu der ebene ? davon den abstand berechnen`?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
richtig, du nimmst dir irgendeinen beliebigen Punkt der Gerade, in deinem Fall ist es der Stützvektor der Gerade, und berechnest den Abstand des Punktes von der Ebene.
Kennst du dazu einen Lösungsweg?
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 04.03.2007 | | Autor: | Miranda |
umwandlung in HNF?
[mm] also:\wurzel{7²+(-4)²+(-4)²+(-3)²} =\wurzel{90}
[/mm]
--und dann: 7x1-4x2-4x3-3/ [mm] \wurzel{90}
[/mm]
dann das einsetzen und am ende ungefähr..3,44 rausbekommen?...oje...*lach*,,,danke für deine geduld
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 04.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Das ist aber nicht die richtige Umwandlung in die HNF:
Du musst durch den Betrag der Normalenvektors teilen.
Der Betrag des Noramlenvektors lautet wie?
Gut, wenn du das hast, dann kennst du schon den Abstand Ebene Ursprung (dann hast du die Form [mm] \vec{n^0}*\vec{x}-\vec{n^0}*\vec{a}=0
[/mm]
wobei [mm] \vec{n^0}*\vec{a} [/mm] eine positive Zahl sein muss.
Dann konstuierst du dir eine zweite Ebene, parallel zur ersten, also mit dem selben Normalenvektor, und bestimmst deren Abstand zum Ursprung.
Dann kannst du die Abstände subtrahieren oder addieren wie auch immer, das musst du dann sehen, und hast den Abstand Punkt Ebene heraus, welches in deinem Fall Abstand Punkt Gerade entspricht.
Sláin,
Kroni
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