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| Aufgabe | K ist der Einheitskreis [mm] K=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2 |x^2+y^2=1\right\}
[/mm]
P= [mm] \vektor{1 \\ -2} \in \IR^2 [/mm] Zeige, dass es genau 2 Geraden durch den Punkt P gibt, die K in genau einem Punkt schneiden.
Bestimme die Geraden und den Schnittpunkt mit dem Kreis. |
So..ich hab mir dazu mal eine Skizze gemacht..
Da P als x-Wert 1 hat, sowie auch der Einheitskreis bei x=1 den Kreis schneidet, kann der erste Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis ermittelt werden [mm] S_K=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Also hat eine Gerade die Form: [mm] g=\vektor{1 \\ -2}+\lambda \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
Wie kriege ich nun die andere Gleichung und den Schnittpunkt?
MfG
Mathegirl
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> K ist der Einheitskreis [mm]K=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2\ |\ x^2+y^2=1\right\}[/mm]
>
> P= [mm]\vektor{1 \\ -2} \in \IR^2[/mm]
> Zeige, dass es genau 2
> Geraden durch den Punkt P gibt, die K in genau einem Punkt
> schneiden.
> Bestimme die Geraden und den Schnittpunkt mit dem Kreis.
> So..ich hab mir dazu mal eine Skizze gemacht..
> Da P als x-Wert 1 hat, sowie auch der Einheitskreis bei x=1
> den Kreis schneidet, kann der erste Schnittpunkt der
> Geraden mit dem Kreis ermittelt werden [mm]S_K=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> Also hat eine Gerade die Form: [mm]g=\vektor{1 \\ -2}+\lambda \vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> Wie kriege ich nun die andere Gleichung und den
> Schnittpunkt?
Guten Tag Mathegirl
du kannst z.B. für die Geradengleichung den Ansatz $\ y=m*x+b$
benutzen.
Stelle dann zwei Gleichungen für die darin vorkommenden
Parameter m und b auf. Die eine ergibt sich daraus, dass
P diese Geradengleichung erfüllen muss.
Die andere bekommst du aus der Bedingung, dass die
Gerade genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam
haben soll, d.h. die quadratische Gleichung, die sich für
den Schnitt von Kreis und Gerade ergibt, soll genau eine
Lösung haben.
LG Al-Chw.
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Bemerkung:
Wärest du von Anfang an meinem Vorschlag mit dem
Ansatz y=m*x+b gefolgt, ohne dir zuerst selber eine
Skizze zu machen, hättest du die "einfache" Lösung
mit der Geraden x=1 möglicherweise gar nicht gefunden.
Allerdings muss es ja zu einem außerhalb eines Kreises
liegenden Punkt stets zwei Tangenten von da aus an
den Kreis geben.
Also: wer hinschaut, ist meistens im Vorteil.
Zu der Aufgabe gäbe es natürlich eine ganze Menge
weiterer Lösungsmöglichkeiten.
LG Al-Chw.
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okay, ich hab nun eine Formel für die Schnittpunkte mit dem Kreis:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{1}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}
[/mm]
nur was setze ich für b und m ein?
[mm] r^2 [/mm] ist ja 1.
Wenn ich die Schnittpunkte habe, dann kann ich ja die Geraden bestimmen.
1.Gerade und Schnittpunkt
[mm] Q_{K,g}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] g:=\vektor{1 \\ -2}+\lambda\vektor{0 \\ 2} [/mm]
Stimmt dieser Schnittpunkt und die Gerade?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay, ich hab nun eine Formel für die Schnittpunkte mit
> dem Kreis:
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{1}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]
>
Hier hast Du Dich verschrieben;
[mm]x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1\blue{+}m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]
Aus der Kenntnis, daß es nur einen Schnittpunkt geben darf,
muß der Ausdruck unter der Wurzel verschwinden.
Damit erhältst Du eine Beziehung zwischen m und b.
Löse dann die Gleichung
[mm]2=m*\left(-1\right)+b[/mm]
nach m auf.
> nur was setze ich für b und m ein?
Dazu musst Du die in Parameterform vorliegende Gerade +
in die Form [mm]y=m*x+b[/mm] umwandeln.
In Parameterform schreibt sich das so:
[mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{1 \\ m}*t+\pmat{0 \\ b}, \ t \in \IR[/mm]
> [mm]r^2[/mm] ist ja 1.
>
> Wenn ich die Schnittpunkte habe, dann kann ich ja die
> Geraden bestimmen.
>
> 1.Gerade und Schnittpunkt
> [mm]Q_{K,g}=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]g:=\vektor{1 \\ -2}+\lambda\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> Stimmt dieser Schnittpunkt und die Gerade?
>
Die Gerade stimmt, hat aber [mm]\infty[/mm] Steigung .
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ist der zweite Schnittpunkt
[mm] S_{K,h}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2}}
[/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ist der zweite Schnittpunkt
> [mm]S_{K,h}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2}}[/mm]
>
Nein.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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dann hab ich leider keine Ahnung wie ich ihn sonst berechnen kann..
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Hallo Mathegirl,
> dann hab ich leider keine Ahnung wie ich ihn sonst
> berechnen kann..
Ich habe Dir hier beschrieben,
wie Du auf die Steigung der Geraden kommst.
Gruss
MathePower
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