Geraden im R^3 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Braten |
| Aufgabe | | Sei [mm] c:I->\IR^3 [/mm] eine Kurve, deren sämtliche Tangenten zu genau einer Geraden parallel sind. Man beweise, dass c eine Gerade ist. |
Also ich bin mir etwas unsicher, was die Eigenschaft "parallel" betrifft.
Ich habe das jetzt einfach so gelöst, ich würde mich freuen, wenn ihr mir die Lösung bestätigen würdet oder helft:
die Tangenten an der Kurve haben die Form c(x)+t*c'(x). Wenn diese alle Parallel zu der Gerade [mm] \beta +t*\alpha [/mm] ist, so muss gelten:
[mm] c'(x)=\alpha. [/mm] (ist das so richtig. Könnte denn nicht auch z.B. [mm] c'(x)=-\alpha [/mm] sein??Leider wird diese Aufgabe im Buch gestellt, ohne Parallel zu definieren...)
=> mittels integration erhalte ich dann [mm] c(x)=v+t*\alpha. [/mm] Somit ist c eine Gerade.
|
|
| |
|
Hallo Braten,D
eine Grundidee ist richtig.
Du berücksichtigst aber nicht, dass die Kurve im [mm] \IR^3 [/mm] verläuft. Da brauchst Du etwas mehr als die Ableitungsformeln in der Ebene.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Die "Punkte" v, [mm] \alpha [/mm] etc. sollen 3-dimensionale Vektoren darstellen.
Oder meintest du was anderes?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Siehe hier:
https://matheraum.de/read?i=827142
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Die "Punkte" v,
> [mm]\alpha[/mm] etc. sollen 3-dimensionale Vektoren darstellen.
>
> Oder meintest du was anderes?
Nein, schon gut. Dann mag ich nur die Notation nicht, ansonsten ist alles in Ordnung, wie Fred schon bestätigt hat.
Mit Notation meine ich, dass Vektoren besser eine entsprechende Markierung tragen oder wenigstens vorher als solche definiert sind, also [mm] v,\alpha\in\IR^3. [/mm] Dann ist es unmissverständlich.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend: die Voraussetzung lautet ganz einfach so:
die Ableitung $c':I [mm] \to \IR^3$
[/mm]
ist konstant auf I.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Braten |
Ich gehe dann mal davon aus, mein Beweis ist so richtig....
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich gehe dann mal davon aus, mein Beweis ist so
> richtig....
Davon kannst Du ausgehen. Auch ich verstehe den Einwand unseres Reverenden nicht.
Ist [mm] x_0 \in [/mm] I, so ist die Tangente in [mm] x_0 [/mm] gegeben durch
$ [mm] \{c(x_0)+t*c'(x_0): t \in \IR\}$
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe 1 | Sei [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine Kurve, deren sämtliche Tangenten zu
genau einer Geraden parallel sind. Man beweise, dass
c eine Gerade ist. |
Meine Lösung zu der Aufgabe, wie sie hier steht, wäre:
Eine solche Kurve gibt es nicht !
Der Haken liegt beim Ausdruck "zu genau einer Geraden parallel".
Ist im [mm] \IR^3 [/mm] eine Gerade t parallel zu einer Geraden a, so ist t auch
parallel zu unendlich vielen weiteren Geraden, nämlich zu allen
Parallelen zu a.
Ferner vermisse ich in der Aufgabe die ganz wichtige
Voraussetzung der Differenzierbarkeit von c.
Andernfalls könnte man I z.B. in Teilintervalle aufteilen
und diese dann auf verschiedene, zueinander parallele
Strecken abbilden.
Insgesamt wissen wir auch nicht, ob c wirklich eine
(beidseitig unbegrenzte) Gerade ist, sondern nur,
dass c (im Falle einer differenzierbaren Kurve) auf
einer gewissen Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] liegt.
Die redigierte Aufgabenstellung wäre also etwa:
| Aufgabe 2 | Sei a eine Gerade im [mm] \IR^3 [/mm] und [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine differen-
zierbare Kurve, die in jedem ihrer Punkte eine ein-
deutige, zu a parallele Tangente besitzt.
Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm] c\subset{g} [/mm] gibt. |
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> Die redigierte Aufgabenstellung wäre also etwa:
>
> Sei a eine Gerade im [mm]\IR^3[/mm] und [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine differen-
> zierbare Kurve, die in jedem ihrer Punkte eine ein-
> deutige, zu a parallele Tangente besitzt.
> Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c\subset{g}[/mm] gibt.
>
>
> LG Al-Chw.
Hallo Al,
Du hast natürlich völlig recht mit Deiner Kritik. Aber wenn wir schon genau sind, so sollte der letzte Satz in Deiner Fassung lauten:
Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c(I) \subset{g}[/mm] gibt.
Gruß FRED
>
>
>
|
|
|
| |
|
> > Die redigierte Aufgabenstellung wäre also etwa:
> >
> > Sei a eine Gerade im [mm]\IR^3[/mm] und [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine differen-
> > zierbare Kurve, die in jedem ihrer Punkte eine ein-
> > deutige, zu a parallele Tangente besitzt.
> > Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c\subset{g}[/mm] gibt.
> >
> >
> > LG Al-Chw.
>
> Hallo Al,
>
> Du hast natürlich völlig recht mit Deiner Kritik. Aber
> wenn wir schon genau sind, so sollte der letzte Satz in
> Deiner Fassung lauten:
>
> Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c(I) \subset{g}[/mm]
> gibt.
>
> Gruß FRED
OK, dann wäre aber auch noch die Rede von der "Kurve c" zu
berichtigen ...
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Die redigierte Aufgabenstellung wäre also etwa:
> > >
> > > Sei a eine Gerade im [mm]\IR^3[/mm] und [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine differen-
> > > zierbare Kurve, die in jedem ihrer Punkte eine ein-
> > > deutige, zu a parallele Tangente besitzt.
> > > Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c\subset{g}[/mm] gibt.
> > >
> > >
> > > LG Al-Chw.
> >
> > Hallo Al,
> >
> > Du hast natürlich völlig recht mit Deiner Kritik. Aber
> > wenn wir schon genau sind, so sollte der letzte Satz in
> > Deiner Fassung lauten:
> >
> > Man beweise, dass es eine Gerade g mit [mm]c(I) \subset{g}[/mm]
> > gibt.
> >
> > Gruß FRED
>
>
> OK, dann wäre aber auch noch die Rede von der "Kurve c"
> zu
> berichtigen ...
Nicht unbedingt. Nicht immer, aber oft ist eine Kurve eine Abbildung.
FRED
>
> LG Al
>
>
|
|
|
|
