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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Di 18.10.2011 | | Autor: | Braten |
| Aufgabe | | Sei [mm] c:I->\IR^3 [/mm] eine Kurve, deren sämtliche Tangenten durch ein und denselben Punkt verlaufen. Zeige, dass dann c eine Gerade ist. |
Also diese Aufgabe sieht eigentlich sehr einfach aus. Aber irgendwie schaffe ich es nicht, auf den richtigen Weg zu kommen.
Bisher habe ich zwei Lösungswege versucht, leider bin ich aber nicht sehr weit gekommen.
z.B.:
Angenommen, c sei keine Gerade, dann gibt es zwei Punkte [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] an denen c verschiedene Steigungen besitzt. (also [mm] c'(p_1)\not= c'(p_2) [/mm]
Alle Tangenten gehen durch den Punkt [mm] a\in\IR^3., [/mm] d.h. auch die beiden Geraden [mm] c(p_i)+t(c'(p_i)) [/mm] haben diesen gemeinsamen Punkt.
Nun habe ich einige spielereien mit den Steigungen betrieben, die haben aber zu nichts geführt.
Mein 2. Weg war es, einen direkten Beweis zu führen, bei dem ich aber auch nicht viel weiter kam.
Kann mir vielleicht jemand beim nächsten schritt helfen?
Gruß
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Hallo Braten,
klingt ja ganz ähnlich wie die Aufgabe von gestern, ist aber trotzdem anders.
Nimm einen Punkt Q der Kurve, so dass die Bedingung erfüllt ist. Nun soll sie auch für jeden Punkt in einer beliebig (hier auch: beliebig groß) zu wählenden [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von Q gelten. Was heißt das für den Verlauf von c in dieser Umgebung?
Notfalls kannst Du Deine Koordinaten so transformieren, dass die Gerade, die [mm] \overline{PQ} [/mm] beinhaltet, gerade eine Koordinatenachse wird, wobei natürlich P der feste Punkt ist, durch den die Tangenten laufen sollen.
Dann ist es besonders einfach.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Di 18.10.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo reverend,
leider sehe ich noch nicht, worauf du hinaus willst.
Also sei dieser Kurvenpunkt [mm] Q=c(t_1) [/mm] gegeben. Dann gilt für die Tangente:
[mm] c(t_1)+t*c'(t_1)=c(t_1)+t*(P-c(t_1)).
[/mm]
Wenn wir uns nun Punkte in einer umgebung ansehen, gilt analog:
[mm] c(t_1 [/mm] +h) + [mm] t*c'(t_1 +h)=c(t_1 +h)+t*(P-c(t_1 [/mm] +h)).
Aber ich sehe beim besten willen nicht, was daraus nun folgt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 18.10.2011 | | Autor: | Braten |
Also ich verzweile so langsam an dieser Aufgabe. Mittlerweile habe ich alles bewiesen, nur nicht die Aufgabenstellung:(
z.B. kam ich auf folgende überlegung, (die ja falsch sein muss, da sie ein anderes Ergebnis liegert.)
Ich habe mir überlegt, dass man annehmen kann, die Kurve sei nach Bogenlänge parametrisiert, d.h. der tangentialvektor habe die länge 1. (denn das würde ja nichts an den Tangenten ändern.)
Dann entsteht folgende DGL:
c'(t)=(P-c(t))/||P-c(t)||
Nun habe ich überlegt, welche Lösungen diese DGL hat. Aber die Lösung ist keine Gerade!
Was ist an obiger überlegung falsch. Und vor allem wie kann ich es richtig lösen?
Versucht habe ich z.B. MWS anzuwenden oder andere Sachen:(
Ich würde mich sehr über eure hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei einem festen Punkt P und c nach Bogenlänge parametrisiert hat man
[mm] c(t)+\lambda(t)*c'(t)=P
[/mm]
differenziert:
[mm] c'+\lambda'*c'+\lambdac''=0
[/mm]
[mm] c'(1+\lambda')=c''*\lambda
[/mm]
setze [mm] f(t)=\bruch{lambda)(\lambda'}
[/mm]
[mm] c'=c'(0)*e^{A(t)} [/mm] mit A= - [mm]\integral_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}[/mm]
damit hast du konstante Steigung, es also auf dein voriges problem zurückgeführt.
anderer Weg: P=(0,0,0)
die einfache Tranformation (x,y,z)->(1/x,y/x,z/x) führt Cin C*über, tangenten in Tangenten, Geraden durch 0 in parallelen zur x-Achse
und du bist wieder beim schon gelösten Problem
Gruss leduart
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> Sei [mm]c:I->\IR^3[/mm] eine Kurve, deren sämtliche Tangenten durch
> ein und denselben Punkt verlaufen. Zeige, dass dann c eine
> Gerade ist.
Hallo Braten,
auch bei dieser Aufgabe wäre eigentlich zuerst die Aufgaben-
stellung zu reparieren, damit sie wirklich das aussagt, was
gemeint ist. Die Kurve muss insbesondere stetig sein und in
jedem ihrer Punkte eine eindeutig bestimmte Tangente haben.
Ich finde den Ratschlag gut, den reverend gegeben hat:
Benütze ein Koordinatensystem, dessen Ursprung der Punkt
P ist, durch welchen alle Kurventangenten verlaufen sollen.
Ferner sei [mm] Q(\,x_Q\,|\,0\,|\,0\,) [/mm] mit [mm] x_Q>0 [/mm] ein Punkt der Kurve.
Betrachten wir nun einen dem Punkt Q benachbarten Kurven-
punkt R, zum Beispiel mit [mm] x_R=x_Q+\varepsilon [/mm] mit einem kleinen [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit dürfen wir auch
etwa noch annehmen, dass der Punkt R in der x-y-Ebene
liegt. Also hätten wir für R die Koordinaten [mm] (x_Q+\varepsilon\,|\,\eta\,|\,0\,) [/mm] .
Natürlich soll die Tangente in R durch [mm] P(\,0\,|\,0\,|\,0\,) [/mm] verlaufen.
Jetzt kann man versuchen, aufgrund der Annahme [mm] \eta\not=0 [/mm]
einen Widerspruch herzuleiten, z.B. den, dass es dann auf
der Kurve zwischen Q und R mindestens einen Punkt S
geben müsste, dessen Tangente nicht durch P verlaufen
kann.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Diese Aufgabe macht mir seit sie hier aufgetaucht ist einiges Kopfzerbrechen.
Zunächst sollte $ [mm] c:I->\IR^3 [/mm] $ natürlich differenzierbar sein. Ich hab keine richtige Lösung, hab mich aber mal so rangetastet:
Wir können annehmen, dass sämtlich Tangenten durch den Ursprung gehen. Dann gibt es zu jedem t [mm] \in [/mm] I ein s=s(t) [mm] \in \IR [/mm] mit:
$c(t)=s(t)c'(t)$.
Weiter nehme ich an, dass s(t) [mm] \ne [/mm] 0 ist für jedes t [mm] \in [/mm] I und dass s eine auf I stetige Funktion ist. Dann gilt mit einer auf I stetigen Funktion a:
$c'(t)=a(t)c(t)$.
Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet:
[mm] $c(t)=e^{b(t)}C$ [/mm] ,
wobei C [mm] \in \IR^3 [/mm] und b eine Stammfunktion von a auf I ist. Also ist c von folgender Form:
[mm] $c(t)=e^{b(t)}\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3}$ [/mm] ,
Die Gerade g sei definiert durch
[mm] $g=\{r\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3}: r \in \IR\}.
[/mm]
Dann gilt:
$c(I) [mm] \subseteq [/mm] g$
Wie gesagt, das war ein behutsames herantasten. Ich habe viele Annahmen gemacht, die die Sache vereinfachen. Vielleicht ist obige Idee ausbaufähig zu einer richtigen Lösung.
FRED
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