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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Eine Radarstation befindet sich im Punkt P(61| -110|1). Ein Verkehrsflugzeug, das über einen längeren Zeitraum mit nahezu konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigem Kurs fliegt, wird um 18:37 Uhr vom Radar im Punkt F1(-9|-54|7) und 5 Minuten später im Punkt F2(-4|-99|7) erfasst (Koordinatenangaben in km).
1. a) Mit welcher Geschwindigkeit ist das Flugzeug unterwegs?
b) Wie weit ist das Flugzeug um 18:51 Uhr von der Radarstation
entfernt?
2. Ab welchem Zeitpunkt entfernt sich das Flugzeug von der Radarstation? Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt seine Entfernung von der Station?
3. Um 19:00 Uhr ändert das Flugzeug seine Richtung und seine Geschwindigkeit. Es wird um 19:05 Uhr von einer zweiten Radarstation im Punkt G1 (14|-276|6) und 10 Minuten später im Punkt G2(14|-346|4) geortet. Wenn das Flugzeug diesen geradlinigen Flugkurs, erreicht es ohne weitere Kurskorrektur den Flughafen, der in 1000 m liegt. Die Landung des Flugzeugs ist für 19:20 Uhr geplant. Kann dieser Zeitplan eingehalten werden? |
Hallo,
mein Hauptproblem liegt im Grunde bei Aufgabe 2, aber ich beginne zunächst einmal mit meinen Überlegungen für 1:
1.)
a)
Zunächst einmal den Vektor für F1F2 berechnen:
[mm] \overrightarrow{F1F2} [/mm] = [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \vektor{-4 + 9 \\ -99 +54 \\ 7-7} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -45 \\ 0}
[/mm]
Anschließend interessiert uns nun, wie lang dieser Vektor ist, um danach die Geschwindigkeit herauszufinden:
[mm] |\overrightarrow{v}| [/mm] = [mm] \wurzel{5^2 + (-45)^2 + 0^2} [/mm] = ca. 45,28 [km]
Dies entspricht einer Geschwindigkeit von:
45,28/5 * 60/1 = 45,28*12 = 543,32 [km/].
b)
18:51 entspricht: 14 Minuten nach Erreichen von Punkt F1. Nennen wir den neuen Punkt F3.
Stellen wir die Parameterdarstellung auf:
g: [mm] \overrightarrow{0F3} [/mm] = [mm] \vektor{-9 \\ -54 \\ 4} [/mm] + k * [mm] \vektor{5 \\ -45 \\ 0}
[/mm]
Für k setzen wir 14/5 ein, da der Wert für den Stützvektor nach 5 Minuten gemessen wurde und F3 nach 14 Minuten vorliegt:
g: [mm] \overrightarrow{0F3} [/mm] = [mm] \vektor{-9 \\ -54 \\ 4} [/mm] + 14/5 * [mm] \vektor{5 \\ -45 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -180 \\ 7}
[/mm]
Berechnen wir nun den Vektor [mm] \overrightarrow{PF3}, [/mm] um danach die Entfernung von Punkt P zu F3 herauszubekommen:
[mm] \overrightarrow{PF3} [/mm] = [mm] \vektor{5 - 61 \\ -180 + 110 \\ 7-1} [/mm] = [mm] \vektor{-56 \\ -70 \\ 6}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{PF3}| [/mm] = [mm] \wurzel{(-56)^2 + (-70)^2 + 6^2} [/mm] = ca. 89,844 [km]
2.)
Hier habe ich nun Probleme. Zunächst einmal frage ich mich, ob der Punkt p auf der Geraden g liegt, also der Flugbahn des Flugzeuges.
Falls es so wäre, würde ich dann dann nämlich [mm] \overrightarrow{0P}=g [/mm] rechnen und das ganze nach k auflösen. Das k wäre dann meine Zeitangabe. Aber ich könnte leider nicht darauf aufbauend den zweiten Teil der Aufgabe lösen, sodass ich davon ausgehe, dass bereits mein Ansatz falsch ist.
Ich komme hier aber echt nicht weiter.
3.)
Hier habe ich eine Paramaterdarstellung für die neue Gerade h erstellt:
h: [mm] \overrightarrow{0X} [/mm] = [mm] \vektor{14 \\ -276 \\ 6} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ -70 \\ -2} [/mm]
Für k habe ich 1,5 (15min/10min) eingesetzt und [mm] \vektor{14\\ -380 \\ 3} [/mm] herausbekommen.
An der x3-Koordinate kann man ja sehen, dass sich das Flugzeug bei 3 km befindet. Und das um 19:20. Der Zeitplan kann also nicht eingehalten werden.
Variante 2: Wann würde die Ankuft erfolgen?
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{14 \\ -276 \\ 6} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ -70 \\ -2}
[/mm]
Für k bekomme ich 5/2 = 2,5 raus. Dies entpricht 25 Minuten. 19:05 + 25 Minuten sind 19:30. Die Ankunft erfolgt um 19:30 Uhr.
LG
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Hallo Mathics,
> Eine Radarstation befindet sich im Punkt P(61| -110|1). Ein
> Verkehrsflugzeug, das über einen längeren Zeitraum mit
> nahezu konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigem Kurs
> fliegt, wird um 18:37 Uhr vom Radar im Punkt F1(-9|-54|7)
> und 5 Minuten später im Punkt F2(-4|-99|7) erfasst
> (Koordinatenangaben in km).
>
> 1. a) Mit welcher Geschwindigkeit ist das Flugzeug
> unterwegs?
> b) Wie weit ist das Flugzeug um 18:51 Uhr von der
> Radarstation
> entfernt?
>
> 2. Ab welchem Zeitpunkt entfernt sich das Flugzeug von der
> Radarstation? Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt seine
> Entfernung von der Station?
>
> 3. Um 19:00 Uhr ändert das Flugzeug seine Richtung und
> seine Geschwindigkeit. Es wird um 19:05 Uhr von einer
> zweiten Radarstation im Punkt G1 (14|-276|6) und 10 Minuten
> später im Punkt G2(14|-346|4) geortet. Wenn das Flugzeug
> diesen geradlinigen Flugkurs, erreicht es ohne weitere
> Kurskorrektur den Flughafen, der in 1000 m liegt. Die
> Landung des Flugzeugs ist für 19:20 Uhr geplant. Kann
> dieser Zeitplan eingehalten werden?
> Hallo,
>
> mein Hauptproblem liegt im Grunde bei Aufgabe 2, aber ich
> beginne zunächst einmal mit meinen Überlegungen für 1:
>
> 1.)
>
> a)
>
> Zunächst einmal den Vektor für F1F2 berechnen:
>
> [mm]\overrightarrow{F1F2}[/mm] = [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = [mm]\vektor{-4 + 9 \\ -99 +54 \\ 7-7}[/mm]
> = [mm]\vektor{5 \\ -45 \\ 0}[/mm]
>
> Anschließend interessiert uns nun, wie lang dieser Vektor
> ist, um danach die Geschwindigkeit herauszufinden:
>
> [mm]|\overrightarrow{v}|[/mm] = [mm]\wurzel{5^2 + (-45)^2 + 0^2}[/mm] = ca.
> 45,28 [km]
>
> Dies entspricht einer Geschwindigkeit von:
>
> 45,28/5 * 60/1 = 45,28*12 = 543,32 [km/].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
>
> 18:51 entspricht: 14 Minuten nach Erreichen von Punkt F1.
> Nennen wir den neuen Punkt F3.
>
> Stellen wir die Parameterdarstellung auf:
>
> g: [mm]\overrightarrow{0F3}[/mm] = [mm]\vektor{-9 \\ -54 \\ 4}[/mm] + k *
> [mm]\vektor{5 \\ -45 \\ 0}[/mm]
>
> Für k setzen wir 14/5 ein, da der Wert für den
> Stützvektor nach 5 Minuten gemessen wurde und F3 nach 14
> Minuten vorliegt:
>
> g: [mm]\overrightarrow{0F3}[/mm] = [mm]\vektor{-9 \\ -54 \\ 4}[/mm] + 14/5 *
> [mm]\vektor{5 \\ -45 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ -180 \\ 7}[/mm]
>
> Berechnen wir nun den Vektor [mm]\overrightarrow{PF3},[/mm] um
> danach die Entfernung von Punkt P zu F3 herauszubekommen:
>
> [mm]\overrightarrow{PF3}[/mm] = [mm]\vektor{5 - 61 \\ -180 + 110 \\ 7-1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-56 \\ -70 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{PF3}|[/mm] = [mm]\wurzel{(-56)^2 + (-70)^2 + 6^2}[/mm] =
> ca. 89,844 [km]
>
>
> 2.)
>
> Hier habe ich nun Probleme. Zunächst einmal frage ich
> mich, ob der Punkt p auf der Geraden g liegt, also der
> Flugbahn des Flugzeuges.
>
> Falls es so wäre, würde ich dann dann nämlich
> [mm]\overrightarrow{0P}=g[/mm] rechnen und das ganze nach k
> auflösen. Das k wäre dann meine Zeitangabe. Aber ich
> könnte leider nicht darauf aufbauend den zweiten Teil der
> Aufgabe lösen, sodass ich davon ausgehe, dass bereits mein
> Ansatz falsch ist.
> Ich komme hier aber echt nicht weiter.
>
Berechne das Minimum des Abstandes der Geraden g von der der Radarstation.
>
> 3.)
>
> Hier habe ich eine Paramaterdarstellung für die neue
> Gerade h erstellt:
>
> h: [mm]\overrightarrow{0X}[/mm] = [mm]\vektor{14 \\ -276 \\ 6}[/mm] + k *
> [mm]\vektor{0 \\ -70 \\ -2}[/mm]
>
> Für k habe ich 1,5 (15min/10min) eingesetzt und
> [mm]\vektor{14\\ -380 \\ 3}[/mm] herausbekommen.
>
> An der x3-Koordinate kann man ja sehen, dass sich das
> Flugzeug bei 3 km befindet. Und das um 19:20. Der Zeitplan
> kann also nicht eingehalten werden.
>
> Variante 2: Wann würde die Ankuft erfolgen?
>
> [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{14 \\ -276 \\ 6}[/mm] + k *
> [mm]\vektor{0 \\ -70 \\ -2}[/mm]
>
> Für k bekomme ich 5/2 = 2,5 raus. Dies entpricht 25
> Minuten. 19:05 + 25 Minuten sind 19:30. Die Ankunft erfolgt
> um 19:30 Uhr.
>
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Aufgabe 3 ist auch richtig oder?
Wie kann ich denn das Minimum berechnen? Ein Kumpel hat mir den Tipp gegeben, dass ich mit dem Skalarprodukt rechnen muss, aber der ist doch nur für die Orthogonalität wichtig. Und hier spielt das doch keine Rolle, oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Sa 17.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst das Min des quadrates des Abstandes durch differentialrechnung rauskriegen
geometrischer ist,: du bestimmst den einheitsnormalenvektor der geraden der in der ebene liegt in der p und die Gerade liegen, wenn du den mit einem beliebigen Vektor von p zur geraden skalar multiplizierst, hast du den abstand zu der geraden (die Komponente senkrecht zu der Geraden. Normalenvektor* diese länge trift von P aenkrecht auf die Gerade.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Den Normalenvektor haben wir nicht gemacht, da der nicht abiturrelevant ist.
Ich frage mich noch, ob ich den Sachverhalt überhaupt verstanden habe. Startet das Flugzeug von der Radarstation und geht dann in seine Flugbahn über? Wie ist das Entfernen gemeint? Die Radarstation liegt nicht in der Flugbahn, oder? Ich habe Probleme damit, den Sachverhalt richtig zu erschließen und diese in Vektoren umzuwandeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 17.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Das Flugzeug fliegt an der Radarstation vorbei. Das kannst Du schon aus der Höhenangabe der Flugbahn entnehmen, die sich nicht ändert und oberhalb der Radarstation liegt. Du kannst für jeden Punkt der Flugbahn eine Entfernung zur Radarstation berechnen. Solange diese Entfernung kleiner wird, heißt es, dass sich das Flugzeug der Radarstation nähert. Dann gibt es einen minimalen Abstand und danach wird die Entfernung wieder größer. Das Flugzeug entfernt sich also von der Station.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Also ich glaube ich habs jetzt:
Die Skizze zum Sachverhalt sieht so aus: ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
Wir suchen hier den Schnittpunkt auf der Geraden g, der sich aus dem Schnitt von dem Vektor [mm] \overrightarrow{F1F2} [/mm] und dem Vektor [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] ergibt.
S liegt auf g und kann zunächst einmal definiert werden als: [mm] \vektor{-9+5*k \\ -54-45*k \\ 7 }.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PS} [/mm] = [mm] \vektor{-9+5*k \\ -54-45*k \\ 7 } [/mm] - [mm] \vektor{61 \\ - 110 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{5*8-70 \\ 56-45*k \\ 6 }.
[/mm]
Da wir den geringsten Abstand zur Radarstation zu suchen, rechnen wir:
[mm] \overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{F1F2}, [/mm] also [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] *("skalar") [mm] \overrightarrow{F1F2} [/mm] = 0 und lösen das nach k auf.
Für k erhalten wir: 7/5. 18:51 Uhr minus 7 Minuten ergibt 18:44 Uhr.
Wie weit ist er von der Radarstation entfernt?
Berechnen wir erstmal den genauen Punkt S und setzen in die Gerade g k=7/5 ein.
Wir erhalten [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -117 \\ 7}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PS} [/mm] ist dann: [mm] \vektor{-2 \\ -117 \\ 7} [/mm] - [mm] \vektor{61 \\ -110 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-63 \\ -7 \\ 6}.
[/mm]
Man hätte eigentlich auch 7/5 direkt in [mm] \vektor{5*8-70 \\ 56-45*k \\ 6 } [/mm] einsetzen können.
Um nun die Entfernung von der Radarstation zu S herauszubekommen, berechnen wir die Länge von [mm] \overrightarrow{PS}.
[/mm]
| [mm] \overrightarrow{PS}| [/mm] = [mm] \wurzel{(-63)^2 + (7)^2 + 6^2} [/mm] = ca. 63,671.
Antwort: Ab 18:44 entfernt es sich von der Radarstation. Die Entfernung beträgt ca. 63,671 km.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 17.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Keine vollständige Antwort, weil ich dann zu viel rechnen müsste.
> Also ich glaube ich habs jetzt:
>
> Die Skizze zum Sachverhalt sieht so aus: [Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
>
> Wir suchen hier den Schnittpunkt auf der Geraden g, der
> sich aus dem Schnitt von dem Vektor [mm]\overrightarrow{F1F2}[/mm]
> und dem Vektor [mm]\overrightarrow{PS}[/mm] ergibt.
Du meinst: durch die Punkte F1 und F2 ist eine Gerade g bestimmt. Durch den Punkt P und einen Punkt S auf der Geraden G ist eine weitere Gerade bestimmt. S wird Schnittpunkt genannt.
>
> S liegt auf g und kann zunächst einmal definiert werden
> als: [mm]\vektor{-9+5*k \\ -54-45*k \\ 7 }.[/mm]
Warum definiert? Als Punkt auf der Geraden muss er die Geradenleichung erfüllen.
>
> [mm]\overrightarrow{PS}[/mm] = [mm]\vektor{-9+5*k \\ -54-45*k \\ 7 }[/mm] -
> [mm]\vektor{61 \\ - 110 \\ 1 }[/mm] = [mm]\vektor{5*8-70 \\ 56-45*k \\ 6 }.[/mm]
Tippfehler, anstelle der 8 steht da k.
>
> Da wir den geringsten Abstand zur Radarstation zu suchen,
> rechnen wir:
>
> [mm]\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{F1F2},[/mm] also
> [mm]\overrightarrow{PS}[/mm] *("skalar") [mm]\overrightarrow{F1F2}[/mm] = 0
> und lösen das nach k auf.
Richtige Strategie. Ich habe nicht nachgerechnet.
> Für k erhalten wir: 7/5. 18:51 Uhr minus 7 Minuten ergibt
> 18:44 Uhr.
>
> Wie weit ist er von der Radarstation entfernt?
>
>
> Berechnen wir erstmal den genauen Punkt S und setzen in die
> Gerade g k=7/5 ein.
>
>
> Wir erhalten [mm]\overrightarrow{OS}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -117 \\ 7}.[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{PS}[/mm] ist dann: [mm]\vektor{-2 \\ -117 \\ 7}[/mm] -
> [mm]\vektor{61 \\ -110 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{-63 \\ -7 \\ 6}.[/mm]
>
> Man hätte eigentlich auch 7/5 direkt in [mm]\vektor{5*8-70 \\ 56-45*k \\ 6 }[/mm]
> einsetzen können.
Ja, wobei ich mich immer noch über die 8 wundere.
>
> Um nun die Entfernung von der Radarstation zu S
> herauszubekommen, berechnen wir die Länge von
> [mm]\overrightarrow{PS}.[/mm]
>
> | [mm]\overrightarrow{PS}|[/mm] = [mm]\wurzel{(-63)^2 + (7)^2 + 6^2}[/mm] =
> ca. 63,671.
>
>
> Antwort: Ab 18:44 entfernt es sich von der Radarstation.
> Die Entfernung beträgt ca. 63,671 km.
Wie gesagt, ich habe nicht alles nachgerechnet. Generell machst Du das richtig.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 So 18.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Ja, die 8 muss natürlich durch ein k ersetzt werden.
Kurz noch eine Verständnisfrage: [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] schneidet ja [mm] \overrightarrow{F1F2}, [/mm] aber im Grunde geht das doch gar nicht weil der Punkt S ja 7 Minuten vor dem Erreichen von Punkt F1 erfolgt. Muss [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] nicht eher die gesamte Gerade g schneiden?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 So 18.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ja, die 8 muss natürlich durch ein k ersetzt werden.
>
> Kurz noch eine Verständnisfrage: [mm]\overrightarrow{PS}[/mm]
> schneidet ja [mm]\overrightarrow{F1F2},[/mm] aber im Grunde geht das
> doch gar nicht weil der Punkt S ja 7 Minuten vor dem
> Erreichen von Punkt F1 erfolgt. Muss [mm]\overrightarrow{PS}[/mm]
> nicht eher die gesamte Gerade g schneiden?
Lies mal, wie ich Deinen Text umformuliert habe. Du musst sorgfältiger formulieren. Was meinst Du mit "die gesamte Gerade g schneiden"? Du willst doch nur sagen, dass der Schnittpunkt nicht zwischen F1 und F2 liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 18.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Ja hast recht, im Grunde will ich nur sagen, dass S nicht zwischen F1 und F2 liegt. Wie kann ich dann aber [mm] \overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{F1F2} [/mm] rechnen?
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Hallo!
Das ist doch völlig egal, ob der Punkt zwischen [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] liegt. Du hast oben die Geradengleichung berechnet:
[mm] $g:\quad \vec{S}=\vec{F_1}+t*\vec{F_1F_2}$
[/mm]
Für jeden Zeitpunkt t liefert dir diese Gleichung die Position des Flugzeugs im Raum. Dabei ist zu beachten, daß t in 5min-Einheiten angegeben ist, denn [mm] $\vec{F_1F_2}$ [/mm] ist die zurückgelegte Strecke in 5min...
Jetzt kannst du beispielsweise das Skalarprodukt anwenden, indem du verlangst: [mm] \vec{S}\vec{P}=0 [/mm] . Für welches t gilt das?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:58 So 18.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Also ich habe mein Problem noch einmal grafisch dargestellt. Mein Problem ist, dass ich nicht begreifen kann, wie man das Skalarprodukt von der blauen und der grünen Linie berechnen kann, wenn sie sich nicht berühren.
[Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 18.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Ich glaube ich habs.
wir haben hier einen vektor f1f2
d.h., man kann den beliebig auf der geraden verschieben
wir berechnen hier ja einen vektor, der orthogonal zu diesem steht. Das ist unsere Bedingung. Der Vektor gibt die Richtung an, nicht aber unbedingt den unmittelbaren Punkt.
Also: Wir setzen vorraus, dass beide Vektoren orthogonal zueinander sind und sich berühren.
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Hallo!
Nein, nicht ganz.
Allgemein kannst du Vektoren ja ganz verschieden interpretieren, und es ist sehr wichtig, das korrekt zu tun.
[mm] F_1F_2 [/mm] bezeichnet ne Strecke im Raum, die das Flugzeug in 5min zurück legt. Du kannst diesen Vektor vor und zurück schieben, die Strecke bleibt die gleiche.
Die Grade hier beschreibt aber die Position des Flugzeugs zu einem festen Zeitpunkt. Da stellt man sich besser vor, daß der Richtungsvektor an den Stützvektor angeheftet ist und nicht verschoben werden kann.
Es ändert sich höchstens seine Länge über den Parameter k. Und das ist letztendlich das, was du hier machst: Du verlängerst oder verkürzt [mm] k*\vec{F_1F_2} [/mm] so, daß die Verbindung seiner Spitze zur Radarstation orthogonal zur Flugrichtung steht. Damit bekommst du das WANN (k, in 5min-Einheiten) und das WO durch Einsetzen von k in die Geradengleichung.
Die Länge von [mm] k*\vec{F_1F_2} [/mm] ,
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 18.03.2012 | | Autor: | Mathics |
Okey, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!
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