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| Aufgabe | Die Geraden [mm] g_{a}: [/mm] x= [mm] \vektor{2 \\ -8 \\ 3} [/mm] + t [mm] \* \vektor{4 \\ -2 \\ a}
[/mm]
schneiden die Ebene E: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{3} [/mm] = -2
in den Punkten [mm] P_{a} [/mm] so, dass alle Punkte [mm] P_{a} [/mm] auf einer Geraden h liegen.
A) Untersuche die Lage einer Gerade aus [mm] g_{a} [/mm] zu E:
Für welchen Wert von a schneidet eine Gerae [mm] g_{a} [/mm] die Ebene E nicht?
Zeige: Für keine der Gerade [mm] g_{a} [/mm] steht senkrecht auf E.
Zeige: Keine der Geraden [mm] g_{a} [/mm] liegt in E.
B) Bestimme eine Parametergleichung für die Gerade h. |
Okay.... ich weiß mit der Aufgabe GAR NICHTS anzufange. Zudem verstehe ich nicht, was er mir mit "Zeige: Für keine der Gerade [mm] g_{a} [/mm] steht senkrecht auf E." sagen will. (keine Abschreibfehler meinerseits!)
Bitte für Doofe erklären.
Wäre sehr gut, wenn mir einer von euch helfen könnte, sonst verzweifel cih ^^
Ich könnte mir vorstellen, dass ich eine Hilfsgerade auf die Ebene E machen muss. Aber ich wüsste nicht, wie ich das anstellen sollte, dass ich weiter komme.
Zudem denke ich, dass ich h bräuchte um weiterzukommen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Tach
1)Was du benötigst um A zu lösen ist der Normalenvektor der Ebene. Das ist der Vector der Auf der Ebene Senkrecht steht. Den bekommst du wenn du die Ebene in Parameterform [mm] ax_{1}+bx_{2}+cx_{3} [/mm] = d gegeben hast. Dann ist der Normalenvektor [mm] \vektor{a \\ b \\c}. [/mm] Angenommen die Gerade stünde für ein a senkrecht auf der Ebene. (Stell dir das mal bildlich vor)
Wie steht dann die Gerade zum Normalenvektor. Was heißt das für die Richtungsvektoren der Gerade? Damit bekommst du deine erste AUssage bewiesen.
2)Jetzt suchen wir die A für die die Gerade die Ebene nicht schneidet.
Dazu musst du dir erst mal klarmachen was die Gerade bedeutet.
Für die erste Komponente eines Punktes auf der Gerade gilt ja x= 2+4*t
für y=-8-2*t für z= ........... Das setzt du jetzt für [mm] x_{1} [/mm] = x _{2} = y x{3}= z ein. Dann ein bisschen umformen. Du bekommst dann eine Gleichung der Form (6-2*a)*t=8. Wann hat dieses System keine Lösung( wann teilt man durch 0, kann t = null werden??). So bekommst du die Lösung für a raus.
3)zur letzten Aussage. Angenommen es gibt ein a für das die Gerade komplett in der Ebene liegt. Dann müsste der Normalenvektor der Ebene doch senkrecht auf der Geraden stehen, denn der steht auf jedem Punkt der Ebene senkrecht. Was heißt das?(Skalarprodukt!!!) Das geht aber nur für a=......... Das ist der WErt für den du vorher ausgerechnet hast das sich a und die Ebene nicht schneiden Widerspruch.
Das letzte bekommt man wenn man rechnet wie in 2 nur diesmal durch den Term teil dann bekommst du etwas für t raus( in abhängigkeit von a) das setzt du für t in die Geradengleichung ein. dann kann man sich zwei a vorgeben und damit explizit zwei punkte bestimmen die eine Gerade aufspannen.
Einen schönen Tach noch
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Dank deiner Erklärung, kann ich die Aufgabe bis zu Punkt 2 nachvollziehen. Dennoch weiß ich nicht, wie ich an a komme.
Habe die Schritte nachgerechnet und jetzt, wie du schon gesagt hast,
(6-a) [mm] \* [/mm] t = 8
dort stehen.
Soweit erscheint mir das auch logisch, aber wie krieg ich nun a raus?
Übrigens DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
du mußt überlegen, für welches a diese Gleichung keine Lösung hat.
Prinzipiell könntest du ja durch (6-a) teilen, um t zu bekommen.
Aber es gibt einen Fall, für den das nicht möglich ist. Welcher?
Für diesen Wert von a gibt es also keine gemeinsamen Punkte von Gerade(n) und Ebene.
Gruß
Will
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