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Geraden und Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mi 01.05.2013
Autor: leasarfati

Aufgabe
Es soll überprüft werden, ob [mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3} [/mm] auf der Ebene [mm] E:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] liegt.
Möglich ist: -Gleichung ist nicht lösbar
- Gleichung hat genau eine Lösung
- Gleichung hat unendlich viele Lösungen


Hallo!

Ich habe folgendermaßen angefangen:
[mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht und konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
I. -4s-r-2t=-10
II. 4s-r=10
III. 3s+r-t=2

Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
I. r=10-4s-2t
II. r=-10+4s
Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t aufgelöst:
t=20
Was muss ich jetzt tun?

Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Mi 01.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Es soll überprüft werden, ob [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}[/mm]
> auf der Ebene [mm]E:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> liegt.
>  Möglich ist: -Gleichung ist nicht lösbar
>  - Gleichung hat genau eine Lösung
>  - Gleichung hat unendlich viele Lösungen
>  
> Hallo!
>  
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
>  [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht und
> konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
>  I. -4s-r-2t=-10
>  II. 4s-r=10
>  III. 3s+r-t=2
>  
> Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
>  I. r=10-4s-2t
>  II. r=-10+4s
>  Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t
> aufgelöst:
>  t=20
>  Was muss ich jetzt tun?
>
> Vielen Dank für die Hilfe

Hallo leasarfati,

setze den gefundenen Wert für t in die Gleichungen
ein und berechne dann auch die Lösungswerte für
s und r.
Falls dies eindeutig bestimmbare Zahlenwerte
sind, berechne die Koordinaten x,y,z des Lösungs-
punktes (Schnittpunkt von Gerade und Ebene).

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Geraden und Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Mi 01.05.2013
Autor: leasarfati

muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III. einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?

Bezug
                        
Bezug
Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mi 01.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III.
> einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?

das spielt keine Rolle: auf jeden Fall aber in beide Gleichungen, falls du das LGS vollends lösen möchtest, um den Schnittpunkt zu berechnen.

Das ist aber, so wie du die Aufgabe eingestellt hast, nicht gefragt. Mache dir klar, dass du hier schon fertig bist und wie die Antwort auf die Frage lautet, welcher der drei Fälle vorliegt.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Geraden und Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mi 01.05.2013
Autor: leasarfati

Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle vorliegt:

Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus.

Heißt das, dass es genau eine Lösung gibt und die Gerade die Ebene in einem Punkt schneidet?

Bezug
                                        
Bezug
Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mi 01.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle
> vorliegt:

>

> Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus.

>

> Heißt das, dass es genau eine Lösung gibt und die Gerade
> die Ebene in einem Punkt schneidet?

Ja, das heißt es. [ok]


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Geraden und Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 01.05.2013
Autor: leasarfati

Und wie merke ich, ob eine Gleichung unendlich viele Lösungen hat?

Bezug
                                                        
Bezug
Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mi 01.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Und wie merke ich, ob eine Gleichung unendlich viele
> Lösungen hat?

daran, dass sie unendlich viele Lösungen hat. Du musst auch dein LGS nochmal nachrechnen, und ich hätte dies auch tun sollen. Deine Lösungen sind falsch und dein Rechenansatz nicht nachvollziehbar.

Rechne mal das ursprüngliche LGS mit dem Gauß.Verfahren durch.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Geraden und Ebenen: falsche Werte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mi 01.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle
> vorliegt:
>  
> Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus.      [haee]   [kopfschuettel]


Sorry, aber das stimmt doch hinten und vorne nicht !

LG

Bezug
                                                
Bezug
Geraden und Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mi 01.05.2013
Autor: leasarfati

Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler ist? Und mit Gauß haben wir das in der Schule noch nie gerechnet...

Bezug
                                                        
Bezug
Geraden und Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mi 01.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler ist?

In deiner Frage (ganz am Anfang) hast du geschrieben:

> Ich habe folgendermaßen angefangen:

> $ [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $

> Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht
> und konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
>   I. -4s-r-2t=-10
>   II. 4s-r=10
>   III. 3s+r-t=2

> Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
>   I. r=10-4s-2t
>   II. r=-10+4s
> Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t aufgelöst:
> t=20

Der Fehler war ganz am Schluss. Aus der "Gleichsetzung"
von I und II erhält man nicht  t=20  , sondern  8s+2t=20  !

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Geraden und Ebenen: noch nicht eindeutig ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Mi 01.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> > muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III.
>  > einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?

>  
> das spielt keine Rolle: auf jeden Fall aber in beide
> Gleichungen, falls du das LGS vollends lösen möchtest, um
> den Schnittpunkt zu berechnen.
>  
> Das ist aber, so wie du die Aufgabe eingestellt hast, nicht
> gefragt. Mache dir klar, dass du hier schon fertig bist und
> wie die Antwort auf die Frage lautet, welcher der drei
> Fälle vorliegt.


Hallo Diophant,

daraus, dass der Wert t (in der Parametergleichung
der Ebene) einen eindeutig bestimmten Wert hat,
folgt noch nicht die eindeutige Lösbarkeit des
gesamten Gleichungssystems. Hätte man aber etwa
für den Parameterwert s (in der Geradengleichung !)
einen eindeutigen Wert, dann wäre der Fall klar.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
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