Geradengleichung / Parametergl < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Gerade g1 ist durch die Punkte P1(2|-3|1) und P2(5|-3|1) bestimmt, die Gerade g2 durch P3(-1|2|3) und den Richtungsvektor [mm] \vec{a}=(-2|-6|x_{z}*).
[/mm]
1. Gib für beide Geraden je eine Gleichung an!
(* x ist in diesem Fall a(z))
|
Hallo,
ich bin mir bei dieser Aufgabenstellung nicht ganz sicher was ich machen soll. Muss ich für die Geradengleichung g1 einfach nur die Gleichung y=mx+n aufstellen und für die Geradengleichung g2 die Parametergleichung?
Weil für G1 hab ich ja pro Punkt x, y und z gegeben, ist quasi räumlich. Wenn ich das aber mit y=mx+n aufstellen (m berechnen, einsetzen, x und y einsetzen, ... fertig) arbeite ich ja eigentlich nicht im Raum oder kann man in diesem Fall z vernachlässigen? Oder muss ich mir für G1 irgendwie den Richtungsvektor aufstellen?
mfG,
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hey,
du musst auch [mm] g_1 [/mm] in der Parameterform aufstellen, also [mm] \vec{x}=\vec{p}+t\cdot{} \vec{v}. [/mm] Einen Stützvektor zu finden ist relativ einfach, dafür kannst du z.B. einfanch [mm] P_1 [/mm] nehmen. Die Richtung der Geraden ist durch den Vektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] gegeben.
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
so quasi?
[mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP2} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{OP1}
[/mm]
(O steht halt immer für Ortsvektor, so haben wirs gelernt... das man quasi nen Punkt in nen Vektor wandeln kann)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mi 08.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nicht ganz.
Alle Punkte auf der Geraden durch A und B erreiche ich, indem ich vom Ursprung aus zum Punkt A gehe und dann den (gestreckten/gestauchten/gespiegelten) Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] entlanggehe. Dieser Vektor gibt mir also die Richtung an.
Also ist die Gerade durch A und B:
[mm] \vec{x}=\vec{a}+t*\overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] ist eine Kurzschreibweise zu [mm] \overrightarrow{OX}
[/mm]
(Natürlich kannst du auch von B aus loslaufen, auch
[mm] \vec{x}=\vec{b}+s*\overrightarrow{BA} [/mm] beschreibt die Gerade durch A und B)
In deiner Aufgabe hast du z.T. schon einen Richtungsvektor gegeben, so dass du diesen dann übernehmen kannst.
Marius
|
|
|
| |
|
dann ist demnach diese gleichung richtig?
[mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP2} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
(wobei [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ja eigentlich [mm] \overrightarrow{P1P2} [/mm] ist)
bzw. was du mit [mm] \vec{a} [/mm] bezeichnet haste wäre bei mir doch [mm] \overrightarrow{P1}
[/mm]
oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 08.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> dann ist demnach diese gleichung richtig?
>
> [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP2}[/mm] + t *
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> (wobei [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ja eigentlich
> [mm]\overrightarrow{P1P2}[/mm] ist)
Das ist halt der Vektor "zwischen" den Punkten.
Wenn du [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] hast, wäre dann
[mm] \vec{x}=\vec{p_{1}}+s*\overrightarrow{P_{1}P_{2}} [/mm] eine Parameterdarstellung, das ist soweit korrekt.
> bzw. was du mit [mm]\vec{a}[/mm] bezeichnet haste wäre bei mir doch
> [mm]\overrightarrow{P1}[/mm]
[mm] \vec{a}=\overrightarrow{OA}
[/mm]
>
> oder?
Jetzt versuche das mal, auf [mm] g_{1} [/mm] durch [mm] P_{1}(2|-3|1) [/mm] und [mm] P_{2}(5|-3|1)
[/mm]
anzuwenden
Im zweiten Fall [mm] g_{2} [/mm] hast du ja schon einen Richtungsvektor vorgegeben mit [mm] \vektor{-2\\-6\\x_{z}} [/mm] und einen Stützpunkt [mm] P_{3}(-1/2/3).
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran
Marius
|
|
|
| |
|
g1:
[mm] \overrightarrow{OX}= \vektor{2\\-3\\1} [/mm] + t * [mm] \vektor{3\\0\\0}
[/mm]
...nur wie berechnet man jetzt t? oder berechnet mann das jetz nicht?
...mit g2 muss ich mich erstma beschäftigen ;)
danke,
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 08.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Geradensarstellung ist korrekt
t berechnest du nicht, das ist ja gerade der Parameter, der den Richtungsvektor verlängert/verkürzt/spiegelt, um jeden Punkt der Geraden zu erreichen. Da dieser Parameter offen bleibt, nennt man diese Form der Geradendarstellung auch Parameterform, ganz allgemein:
[mm] g:\vec{x}=\vec{p}+s*\vec{v}
[/mm]
Hier ist [mm] \vec{p} [/mm] der Stützvektor (P dann der Sützpunkt/Ankerpunkt/Aufhängungspunkt und [mm] \vec{v} [/mm] der Richtungsvektor.
In Fall 2 hast du [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] direkt gegeben.
(Als Bil vielleicht: Stell dir mal die Gerade als eine LaserMessung im Strassenverkehr vor. Die Laserpistole steht auf einem Stativ, also einer Stütze, und wird in eine Richtung (parallel der Strasse) durchgeführt. Mit dem Parameter T bestimmt man jetzt die Entfernung der gemessenen Autos (mehrfach) so dass man jedesmal einen anderen Wert t hat. (Aus der Differenz dieser Werte kann man dann die Geschwindigkeit des Autos messen)
Marius
|
|
|
| |
|
g2:
[mm] \overrightarrow{OX}= \vektor{-1\\2\\3} [/mm] + t * [mm] (-2|-6|x_{a})
[/mm]
(hab letzteres nicht in die vektorschreibweise hinbekommen, sorry^^)
danke,
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 08.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus.
P.S.:
\vektor{-2\\-6\\x_{a}} ergibt [mm] \vektor{-2\\-6\\x_{a}}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
