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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nachmittag
Geben Sie eine Parametergleichung derjenigen gerade g an, welche durch den Punkt P=(4,-1,1) geht und die beiden Geraden h: [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 2} [/mm] + s [mm] \vektor{-2 \\ 4 \\ 3} [/mm] und i: [mm] \vektor{9 \\ -2 \\ 9} [/mm] + u [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 5} [/mm] schneidet.
Eigentlich dachte ich, dass ich mir einen Punkt auf der Gerade H, z. B (2/1/5) und der Gerade i (11/0/14) suche.
Nun kann ich durch die drei gegebenen Punkte eine Ebenengleichung gestalten:
E: [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] k*\vektor{-2\\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] u*\vektor{7\\ 1 \\ 13}
[/mm]
NUr ist nach einer Geradengleichung gefragt...
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker!
> Geben Sie eine Parametergleichung derjenigen gerade g an,
> welche durch den Punkt P=(4,-1,1) geht und die beiden
> Geraden h: [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] + s [mm]\vektor{-2 \\ 4 \\ 3}[/mm]
> und i: [mm]\vektor{9 \\ -2 \\ 9}[/mm] + u [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 5}[/mm]
> schneidet.
>
> Eigentlich dachte ich, dass ich mir einen Punkt auf der
> Gerade H, z. B (2/1/5) und der Gerade i (11/0/14) suche.
So einfach wird das nicht gehen. Du weißt ja gar nicht, ob durch diese drei Punkte B, i und H dann wirklich eine Gerade entstehen kann (muss ja bei 3 willkürlichen Punkten nicht der Fall sein).
Ich habe kurz überlegt und mir viel nichts besseres ein als den Lösungsansatz, den ich dir jetzt präsentiere:
Die Gerade ist durch die Aufgabe eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen jetzt einen Punkt auf einer gegebenen Geraden, jetzt zum Beispiel h, mit A.
Wir können keine genaue Aussage darüber machen, wo jetzt genau A liegt, deswegen sagen wir: Der Punkt A wird erzeugt durch Wahl von einem festen [mm] s_{1}:
[/mm]
[mm] $\vec{OA} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 2} [/mm] + [mm] s_{1}*\vektor{-2 \\ 4 \\ 3}$
[/mm]
Nun haben wir zumindest schonmal etwas in der Hand, womit wir rechnen können, wenn wir auch nicht mehr wissen als vorher. Nun die Idee:
Die Gerade, die durch P und A gebildet wird, muss die Gerade i irgendwo schneiden (Sonst wäre die Aufgabenstellung nicht erfüllt). Das heißt, du musst jetzt die Parameterform der Geraden PA ausrechnen (mit dem Unbekannten [mm] s_{1} [/mm] !) und mit der Geraden i gleichsetzen.
Es entsteht ein Gleichungssystem für drei Variablen, [mm] s_{1}, [/mm] u und die neue Parameter-Variable für deine Geraden PA. Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung. Dadurch erhältst du die gesuchten Werte für [mm] s_{1} [/mm] und u, und kannst so den Punkt A ausrechnen und somit auch die gesuchte Gerade PA.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 27.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Erst mal danke für deinen Lösungsweg, den ich zwischenzeitlich nachvollziehen kann.
Nun versuche ich es trotzdem nochmals auf meine Variante (hoffe du bist mir nicht böse)
Ich bestimmte mal 3 Punkte
P(4/-1/1)
Q(4-2s/5 + 4s/2 + 3s)
Z(9 + 2u/-2 + 2u/9 + 5u)
Nun muss ich eine Gerade suchen, welche durch all diese Punkte geht.
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \vektor{-2s\\6 + 4s \\ 1 + 3s }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PZ} [/mm] = [mm] \vektor{5 + 2u\\-1 + 2u \\ 8 + 5u }
[/mm]
Nun musste doch sein:
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] v*\overrightarrow{PZ}
[/mm]
[mm] \vektor{-2s\\6 + 4s \\ 1 + 3s } [/mm] = [mm] \vektor{5v + 2uv\\-1v + 2uv \\ 8v + 5uv }
[/mm]
-2s = 5v + 2uv
6 + 4s = -v + 2uv
1 + 3s = 8v + 5uv
Würde das theoretisch so gehen?
Danke
Gruss Diner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 28.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Loesungsmethode ist ok
Gruss leduart
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