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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Gegeben sind die Geradenschar [mm] g_{a}=\vektor{4 \\ -4\\2a^2}+\lambda\vektor{1 \\ -2\\2a} [/mm] und eine Gerade [mm] h=\vektor{3 \\ 1\\-8}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-8} [/mm] sowie die Punkte A(6/-1/-1), B(5/2/-3) und C(10/-4/-2).
a) Da die Geraden [mm] g_{2} [/mm] und h sich schneiden, spannen sie eine Ebene E auf. Bestimmen sie eine Gleichung von E in Parameterform! Diese Ebene E schneidet die Drei Koordinatenachsen in den Punkten [mm] S_{1}, S_{2} [/mm] und [mm] S_{3}. [/mm] Bestimmen sie die Koordinaten dieser drei Punkte. Berechnen sie die Längen der Seiten des Dreiecks [mm] S_{1},S_{2},S_{3} [/mm] und interpretieren sie ihr Ergebnis geometrisch.
b) Stellen sie eine Gleichung der Ebene F, die die Punkte A,B und C enhält in Parameterfrom auf. Bestimmen sie die Gleichung der Spurgeraden von F mit der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene!
[/mm]
c) Ergänzen sie das Dreick ABC durch einen Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD. Untersuchen sie, ob der Punkt S(2/0/0) innerhalb der Parallelogrammfläche liegt! |
Zu a)
Als Gleichung für die Ebene E hab ich [mm] E=\vektor{2\\0\\0}+\lambda\vektor{2\\2\\-16}+\mu\vektor{3\\-6\\12} [/mm] rausbekommen. Bislang haben wir immer nur die Spurpunkte von Geraden bestimmt, jetzt hab ich bei der Ebene aber zwei Parameter und weiß nicht, wie das dann zu lösen ist.
Zu b)
Testen, ob A,B und C auf einer Geraden liegen => tun sie nicht.
Dann die Gleichung der Ebene F bestimmen => [mm] F=\vektor{6\\-1\\-1}+\lambda\vektor{-1\\3\\-2}+\mu\vektor{4\\-3\\-1}. [/mm] Dann ist bei mir Finito.
c) Ansatz:
[mm] \vec{d}=\vec{a}+(\vec{b}-\vec{c})=\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
Dann habe ich die Basisvektoren bestimmt, die da wären:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-1\\3\\-2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{-5\\2\\3}
[/mm]
Aus diesen beiden Basisvektoren sollte sich ja ein Vektor vom Punkt A zum Punkt S bilden lassen. Wenn ich dann ein LGS aufstelle, kommt allerdings was sinnloses raus.
Ich hoffe, dass mir jemand bei meinem Problem weiterhelfen kann!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo amicus!
> Als Gleichung für die Ebene E hab ich [mm]E=\vektor{2\\
0\\ 0}+\lambda\vektor{2\\ 2\\ -16}+\mu\vektor{3\\ -6\\ 12}[/mm] rausbekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bislang haben wir immer nur die Spurpunkte von Geraden bestimmt.
> Jetzt hab ich bei der Ebene aber zwei Parameter und weiß nicht,
> wie das dann zu lösen ist.
Der Spurpunkt [mm] $S_1$ [/mm] hat die Koordinaten [mm] $\left( \ x_1 \ | \ 0 \ | \ 0 \ \right)$ [/mm] .
Es entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen.
Kannst Du nun diesen Spurpunkt ermitteln?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Wie man auf zwei Gleichungen kommen soll, weiß ich nicht, allerdings kann man doch, wenn gilt: [mm] S_{1}(x_{1}/0/0), [/mm] die Punktprobe machen, sprich diesen Punkt mit der Ebenengleichung gleichsetzen. Als Ergebnis hab ich dann [mm] x_{1}=2.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
Deine Koordinate stimmt. Während dieser "Punktprobe" musst Du doch auch inegsamt drei Gleichungen aufgestellt haben, von denen 2 Gleichungen Dir [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] liefern.
Und nun zu den anderen beiden Spurpunkten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:42 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Die anderen beiden Spurpunkte wären dann:
[mm] S_{2}(0/0/0)
[/mm]
[mm] S_{3}(0/0/16)
[/mm]
Aber das kann ja eigentlich gar nicht sein, dass [mm] S_{2}(0/0/0) [/mm] ist ,dann wären ja alle drei Spurunkte gleich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
Du hast Recht: das kann nicht stimmen. Und auch [mm] $S_3$ [/mm] stimmt nicht. Bitte rechne hier vor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
[mm] S_{2}:
[/mm]
[mm] \vektor{0\\x_{2}\\0}=\vektor{2\\0\\0}+\lambda\vektor{2\\2\\-16}+\mu\vektor{3\\-6\\12}
[/mm]
LGS:
[mm] -2=2\lambda+3\mu
[/mm]
[mm] x_{2}=2\lambda-6\mu
[/mm]
[mm] 0=-16\lambda+12\mu [/mm]
<=> [mm] -2=2\lambda+3\mu
[/mm]
[mm] x_{2}-4=6\lambda
[/mm]
[mm] -16=36\mu
[/mm]
<=> [mm] \lambda=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \mu=-\bruch{16}{36}=-\bruch{4}{9} [/mm]
=> [mm] 6(-\bruch{1}{3})=-4+x_{2}
[/mm]
<=> [mm] x_{2}=6
[/mm]
[mm] S_{2}(0/6/0)
[/mm]
Beim nochmaligen Durchrechnen für [mm] S_{3} [/mm] hab ich jetzt:
[mm] S_{3}(0/0/-8)
[/mm]
Stimmt das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
> => [mm]6(-\bruch{1}{3})=-4+x_{2}[/mm]
Bis hierher stimmts. Dann rechne nochmal nach ...
> Beim nochmaligen Durchrechnen für [mm]S_{3}[/mm] hab ich jetzt: [mm]S_{3}(0/0/-8)[/mm]
Das Vorzeichen habe ich anders.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
[mm] S_{2}(0/2/0)
[/mm]
[mm] S_{3}:
[/mm]
[mm] \lambda\vektor{2\\2\\-16}+\mu\vektor{3\\-6\\12}=\vektor{-2\\0\\x_{3}}
[/mm]
LGS:
[mm] 2\lambda+3\mu=-2
[/mm]
[mm] 2\lambda-6\mu=0
[/mm]
[mm] -16\lambda+12\mu=x_{3}
[/mm]
[mm] 2\lambda+3\mu=-2
[/mm]
[mm] 6\lambda=-4
[/mm]
[mm] 36\mu=x_{3}-16
[/mm]
[mm] \lambda=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \mu=-\bruch{2}{9}
[/mm]
[mm] x_{3}=8
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
Das habe ich auch erhalten!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo amicus!
> Dann die Gleichung der Ebene F bestimmen =>
> [mm]F=\vektor{6\\
-1\\
-1}+\lambda\vektor{-1\\
3\\
-2}+\mu\vektor{4\\
-3\\
-1}.[/mm]
Nun ist die Schnittgerade mit der genannten Koordinatenebene zu bilden (Schnittgerade = spurgerade).
Die [mm] $x_1/x_2$-Ebene [/mm] kann man z.B. so darstellen:
[mm] $E_{12} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0}+r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Wenn ich es richtig verstanden habe, kann man hier jetzt die Gleichungen der Ebenen [mm] E_{1,2} [/mm] und F gleichsetzen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo amicus!
> Wenn ich es richtig verstanden habe, kann man hier jetzt
> die Gleichungen der Ebenen [mm]E_{1,2}[/mm] und F gleichsetzen, oder?
Genau.
Gruß
Loddar
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Hallo Amicus,
> Gegeben sind die Geradenschar [mm]g_{a}=\vektor{4 \\ -4\\2a^2}+\lambda\vektor{1 \\ -2\\2a}[/mm]
> und eine Gerade [mm]h=\vektor{3 \\ 1\\-8}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-8}[/mm]
> sowie die Punkte A(6/-1/-1), B(5/2/-3) und C(10/-4/-2).
> c) Ergänzen sie das Dreick ABC durch einen Punkt D zu
> einem Parallelogramm ABCD. Untersuchen sie, ob der Punkt
> S(2/0/0) innerhalb der Parallelogrammfläche liegt!
> c) Ansatz:
> [mm]\vec{d}=\vec{a}+(\vec{b}-\vec{c})=\vektor{1\\1\\-2}[/mm]
> Dann habe ich die Basisvektoren bestimmt, die da wären:
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{-1\\3\\-2}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AD}=\vektor{-5\\2\\3}[/mm]
> Aus diesen beiden Basisvektoren sollte sich ja ein Vektor
> vom Punkt A zum Punkt S bilden lassen. Wenn ich dann ein
> LGS aufstelle, kommt allerdings was sinnloses raus.
Der Vektor [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] muss gleich dem
Vektor [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] sein, dies ist hier aber
nicht der Fall.
>
> Ich hoffe, dass mir jemand bei meinem Problem weiterhelfen
> kann!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Wenn ich so vorgehe, wie von dir beschrieben, dann bekomme ich als Koordinaten für den Punkt D: D(9/-1/-4)
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Hallo Amicus,
> Wenn ich so vorgehe, wie von dir beschrieben, dann bekomme
> ich als Koordinaten für den Punkt D: D(9/-1/-4)
Hier erhalte ich andere Koordinaten für den Punkt D.
Poste die Rechenschritte, wie Du auf diesen Punkt D kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Um den Ortsvektor [mm] \vec{d} [/mm] herauszubekommen, muss man ja [mm] \vec{d}=\vec{a}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} [/mm] anfangen. Demnach sind dann AB und CD sowie AC und BD zueinander parallel.
<=> [mm] \vec{d}=\vec{a}+(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{b}-\vec{a})
[/mm]
Dann die Koordinaten der Ortsvektoren einsetzen:
[mm] =\vektor{6\\-1\\-1}+\vektor{4\\-3\\-1}+\vektor{-1\\3\\-2}=\vektor{9\\1\\-4}
[/mm]
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Hallo Amicus,
> Um den Ortsvektor [mm]\vec{d}[/mm] herauszubekommen, muss man ja
> [mm]\vec{d}=\vec{a}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}[/mm]
Hier muss stehen:
[mm]\vec{d}=\vec{a}+\overrightarrow{AC}\blue{-}\overrightarrow{AB}[/mm]
> anfangen. Demnach sind dann AB und CD sowie AC und BD
> zueinander parallel.
>
> <=> [mm]\vec{d}=\vec{a}+(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{b}-\vec{a})[/mm]
>
> Dann die Koordinaten der Ortsvektoren einsetzen:
>
> [mm]=\vektor{6\\-1\\-1}+\vektor{4\\-3\\-1}+\vektor{-1\\3\\-2}=\vektor{9\\1\\-4}[/mm]
Hier musst Du rechnen:
[mm]\vektor{6\\-1\\-1}+\vektor{4\\-3\\-1}\blue{-}\vektor{-1\\3\\-2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ist das nicht rein theoretisch egal, ob + oder - ? Bei beidem kommt ja ein Parallelogramm raus, nur die Reihenfolge der Punkte wäre dann nicht wie gewohnt gegen den Uhrzeigersinn, sondern durcheinander. Klar, dass die Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge benannt sein sollen, aber nur um es zu verbildlichen: Auch bei meiner Rechnung entsteht doch am Ende ein Parallelogramm, auch wenn es das Falsche ist, oder?
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Hallo Amicus,
> Ist das nicht rein theoretisch egal, ob + oder - ? Bei
> beidem kommt ja ein Parallelogramm raus, nur die
> Reihenfolge der Punkte wäre dann nicht wie gewohnt gegen
> den Uhrzeigersinn, sondern durcheinander. Klar, dass die
> Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge benannt sein sollen,
> aber nur um es zu verbildlichen: Auch bei meiner Rechnung
> entsteht doch am Ende ein Parallelogramm, auch wenn es das
> Falsche ist, oder?
Bei Deiner Rechung kommt natürlich auch ein Parallelogramm heraus.
Die Bezeichnung der Punkte ist doch in aller Regel so:
Punkt A - links unten
Punkt B - rechts unten
Punkt C - rechts oben
Punkt D - links oben
Bei Deiner Rechnung ist die Rolle der Punkte C und D vertauscht.
Mach das daher so, wie es Dir beigebracht wurde.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 20.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Gut, dann hab ich es verstanden, danke :)
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