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Forum "Geraden und Ebenen" - Geradenschar und Ebene
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Geradenschar und Ebene: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Fr 16.05.2008
Autor: susimausi

Aufgabe
Die vier Punkte A(-1/-3/-2) B ( 7/9/-8) C ( 17/23/13) und D ( 5/5/22) liegen in der Ebene mit der Gleichung [mm] \vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}= [/mm] 10
a) Zeigen sie , dass das viereck ABCD ein Trapenz ist. Entscheiden sie ob das Trapez symmetrisch ist.
b) Eine geradenschar gk hat die Darstellung
gk: [mm] \vec{x}= \vektor{2\\ 1\\ 9} [/mm] + t*  [mm] \vektor{19\\28\\ k} [/mm]  mit k element R
Untersuche sie allgemein in abhängigkeit von k die lagebeziehungen zwischen der ebene und den Geraden der Schar gk.
Berechnen sie für den Fall, dass sich eine Gerade der Schar  und die Ebene E schneiden die Koordinaten des Schnittpunkts

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

hi kann mir jemand tipps zu den aufgaben geben?... ich stehe momentan total auch den schlauch und weiß nets mit der ebengleichung anzufangen da ich diese form net kenn und ich weiß auch net mehr wie man die lagebeziehung rechnen kann... kann mir jemand tipps  geben?? vllt hilft mir das dann weiter

danke im vorraus



        
Bezug
Geradenschar und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Fr 16.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo und [willommenmr]

> Die vier Punkte A(-1/-3/-2) B ( 7/9/-8) C ( 17/23/13) und D
> ( 5/5/22) liegen in der Ebene mit der Gleichung
> [mm]\vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}=[/mm] 10

Das ist nur das "nicht ausgeschriebene Skalarprodukt", diese Form heisst Normalenform.
[mm] E:\vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}=10 [/mm]
ist nicht anderes als [mm] E:84x_{1}-57x_{2}-2x_{3}=10 [/mm]

>  a) Zeigen sie , dass das viereck ABCD ein Trapenz ist.

Dazu muss entweder [mm] \overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD} [/mm] sein, oder [mm] \overrightarrow{BC}\parallel\overrightarrow{AD} [/mm]

> Entscheiden sie ob das Trapez symmetrisch ist.

Dazu berechne mal den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Teilt diese die Diagonalen jeweils im gleichen Verhältnis auf, so ist das Trapez symmetrisch.


>  b) Eine geradenschar gk hat die Darstellung
>  gk: [mm]\vec{x}= \vektor{2\\ 1\\ 9}[/mm] + t*  [mm]\vektor{19\\28\\ k}[/mm]  
> mit k element R
>  Untersuche sie allgemein in abhängigkeit von k die
> lagebeziehungen zwischen der ebene und den Geraden der
> Schar gk.
>  Berechnen sie für den Fall, dass sich eine Gerade der
> Schar  und die Ebene E schneiden die Koordinaten des
> Schnittpunkts

Hier setze mal die Gerade in die Koordinatenform ein.
Also:

[mm] gk:\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{2\\1\\9}+t*\vektor{19\\28\\k} [/mm]

In E eingesetzt:
[mm] 84(2+19t)-57(1+28t)-2(9+t\cdot{}k)=10 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] t=... (Noch in Abhängigkeit von k)
(Evtl gibt es hier Sonderfälle, die du betrachten musst, wenn du beispielsweise durch (k-1) teilen würdest, müsstest du k=1 gesondert betrachten, da du nicht durch Null teilen darfst.

Diesen Wert kannst du jetzt mal in g einsetzen, um den Schnittpunkt S zu ermitteln. Jetzt kannst du evtl. auch Werte für k ermitteln, für die es keinen Schnittpunkt gibt.


Hilft das erstmal weiter?

Marius

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Bezug
Geradenschar und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Fr 16.05.2008
Autor: susimausi

danken das hat mir sehr geholfen...wenn ich noch weitere fragen habe meld ich mich

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Geradenschar und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Fr 16.05.2008
Autor: susimausi

für t habe ich jetzt 41,5/k raus und das muss ich nun in die geradengleichung einsetzen ... und dann habe ich die lagebezeihung in abhängigkeit von k? wie ist dann denn die lagebeziehung?? irgendwie verstehe ich das wohl doch nicht so ganz

Bezug
                        
Bezug
Geradenschar und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Fr 16.05.2008
Autor: MathePower

Hallo susimausi,

> für t habe ich jetzt 41,5/k raus und das muss ich nun in

Stimmt. [ok]

> die geradengleichung einsetzen ... und dann habe ich die
> lagebezeihung in abhängigkeit von k? wie ist dann denn die
> lagebeziehung?? irgendwie verstehe ich das wohl doch nicht
> so ganz

Für [mm]k \not=0[/mm] schneiden sich demnach [mm]g_{k}[/mm] und E.

Den Schnittpunkt bekommst Du, wie Du richtig erkannt hast, durch einsetzen von [mm]t=\bruch{41,5}{k}[/mm] in die Geradengleichung.

Die Frage ist nun, wie die Lagebeziehung für k=0 ist.

Untersuche hier z.B. wann der Richltungsvektor der Geraden [mm]g_{k}[/mm] senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht. Dazu muß das Skalarprodukt beider Vektoren 0 sein:

[mm]\pmat{84 \\ -57 \\ -2} \* \pmat{19 \\ 28 \\ k}=0 \Rightarrow k= \dots[/mm]

Für dieses k, sofern es existiert, ist dann [mm]g_{k}[/mm] entweder parallel zur Ebene E oder liegt in E.

Das bekommst Du heraus, in dem Du den Abstand des Aufpunktes von [mm]g_{k}[/mm] zur Ebene E ermittelst.

Gruß
MathePower

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Geradenschar und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Fr 16.05.2008
Autor: susimausi

okay danke.. ich hab aber nochmal zu was anderem eine frage.. habe noch nicht genau verstanden wann das trapez symmetrisch ist...


Bezug
                                        
Bezug
Geradenschar und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Fr 16.05.2008
Autor: MathePower

Hallo susimausi,

> okay danke.. ich hab aber nochmal zu was anderem eine
> frage.. habe noch nicht genau verstanden wann das trapez
> symmetrisch ist...
>  

M.Rex hat es ja schon geschrieben:

"Dazu berechne mal den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Teilt diese die Diagonalen jeweils im gleichen Verhältnis auf, so ist das Trapez symmetrisch."

Bilde also die Geraden

[mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda*\overrightarrow{AC}[/mm]

[mm]k:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+\mu*\overrightarrow{BD}[/mm]

Und berechne den Schnittpunkt dieser beiden Geraden.

Bekommst Du hier für beide Parameter den gleichen Wert, dann ist das Trapez symmetrisch.

Gruß
MathePower

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Geradenschar und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Fr 16.05.2008
Autor: susimausi

ja okay.. das mit den paramerten wusste ich nicht.. danke


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