Ges. grosser Zahlen/ f. sicher < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, [mm] $X_n \in L_1 \forall [/mm] n$ und [mm] $E(X_1)>0$ [/mm] sei [mm] $S_n:=\summe_{k=1}^{n}X_k [/mm] $.
Man zeige das [mm] $\forall \epsilon>0 [/mm] $
[mm] $\summe_{n \in \IN} e^{-\epsilon*S_n} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
fast sicher gilt. |
Mit dem Gesetz der grossen Zahlen folgt
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{S_n}{n}=E(X_1)$ [/mm] fast sicher (*)
[mm] $E(X_1)<\infty$ [/mm] weil alle [mm] $X_n \in L_1$
[/mm]
Da bei (*) beide Seiten kleiner unendlich sind kann ich auch mal (-1) rechnen und dann das Exponential nehmen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\bruch{1}{n} * S_n} =e^{E(X_1)} [/mm] $ fast sicher
jetzt wirds aber ziemlich holperig. Es ist [mm] $E(X_1)=E(X_2)=...$ [/mm] weil identisch verteilt. Also ist
[mm] $m*\limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\bruch{1}{n} * S_n} =m*e^{E(X_1)} [/mm] $ fast sicher
An sich multimpliziere ich einfach und links und rechts ist was endliches, aber irgendwie führt mich das nicht näher an die Lösung. Was ich dachte, ist, man kann die Summe so schreiben, aber ich verstehe den Gedanken selbst noch nicht ganz. Hat jemand von euch vlt. einen Tipp? Wie gehts weiter?
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 13.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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