Gesamtmasse berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 16.02.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Die Halbkreisfläche
B = {(x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2 \le R^2, [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0}
ist mit der Fächendichte p(x,y) = [mm] x^2+y^2 [/mm] belegt.
Berechnen Sie die Gesamtmasse und die y-Koordinate des Masseschwerpunktes von B.
(Hinweis: Der Übergang zu Polarkoordinaten ist zu empfehlen.) |
mei Problem ist den Übergang zu den Polarkoordinaten richtig hinzubekommen:
Hier ist mein Ansatz:
[mm] x^2+y^2=R^2
[/mm]
y= [mm] \wurzel{R^2-x^2}
[/mm]
Polarkoordinaten sind:
[mm] x=rcos\phi
[/mm]
[mm] y=rsin\phi
[/mm]
aus [mm] x^2+y^2=R^2 [/mm] folgt ja dass [mm] cos\phi^2 [/mm] + [mm] sin\phi^2 [/mm] =1 ist
also ist [mm] 1=R^2 [/mm] folglich ist R=1.
Um die Gesamtmasse zu berechnen habe ich nun folgende Formel aus der Formelsammlung:
[mm] \bruch{1}{m} \integral_{}^{} \integral_{B}^{}{(\mu) db}
[/mm]
was setzte ich jetzt nun für [mm] \mu [/mm] ein? das R? was ist mit der Flächendichte?
ist mein Ansatz ansatzweise richtig?
und wie gehe ich weiter vor?
vielen Dank
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Hallo!
Die Funktion selber hast du erfolgreich in Polarkoordinaten umgewandelt.
Deine neuen Integrationsvariablen sind also r und [mm] \phi [/mm] .
Jetzt mußt du dir Gedanken um die Grenzen machen, nämlich 0<r<R, und [mm] $0<\phi<\pi$ [/mm] (Halbkreis!!!)
Zudem wird die Funktion noch mit einem zusätzlichen r multipliziert.
Das 1/m benötigst du erst für den Schwerpunkt.
Apropos Schwerpunkt: Der Schwerpunkt in y-Richtung wird berechnet, indem du die Funktion mit y multiplizierst, das Integral bildest, und das ganze anschließend durch die Masse teilst.
Mit anderen Worten: Nach der Transformation in Polarkoordinaten hast du einen SIN im Integranden stehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 16.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Halbkreisfläche
>
> $B [mm] =\{(x,y)\in \IR^2: x^2+y^2 \le R^2, y \ge 0\}$
[/mm]
>
> ist mit der Fächendichte p(x,y) = [mm]x^2+y^2[/mm] belegt.
> Berechnen Sie die Gesamtmasse und die y-Koordinate des
> Masseschwerpunktes von B.
>
> (Hinweis: Der Übergang zu Polarkoordinaten ist zu
> empfehlen.)
> mei Problem ist den Übergang zu den Polarkoordinaten
> richtig hinzubekommen:
>
> Hier ist mein Ansatz:
>
>
> [mm]x^2+y^2=R^2[/mm]
>
> y= [mm]\wurzel{R^2-x^2}[/mm]
>
>
> Polarkoordinaten sind:
>
> [mm]x=rcos\phi[/mm]
> [mm]y=rsin\phi[/mm]
>
> aus [mm]x^2+y^2=R^2[/mm] folgt ja dass [mm]cos\phi^2[/mm] + [mm]sin\phi^2[/mm] =1 ist
So ist das falsch rum: aus [mm]cos\phi^2[/mm] + [mm]sin\phi^2[/mm] =1
folgt [mm] p(r,\phi)=r^2 [/mm] und nicht R=1!
diese massendichte musst du nun aufsummieren Masse=Dichte mal Flaeche!
das Flaechenelement dA in xy Koordinaten ist dxdy in Polarkoordinaten [mm] dA=r*d\phi*dr
[/mm]
also musst du die Massenteile [mm] pdA=r^2*rdrd\phi [/mm] aufsummieren.
> also ist [mm]1=R^2[/mm] folglich ist R=1.
>
> Um die Gesamtmasse zu berechnen habe ich nun folgende
> Formel aus der Formelsammlung:
Das ist keine Formel um die Gesamtmasse auszurechnen.
hier geht es um die Berechnung eines schwerpunktes, und es ist unklar ,welche komponente!
Also vergiss dies Formel, oder lies genauer nach, was die Voraussetzung ist.
> [mm]\bruch{1}{m} \integral_{}^{} \integral_{B}^{}{(\mu) db}[/mm]
>
>
> was setzte ich jetzt nun für [mm]\mu[/mm] ein? das R? was ist mit
> der Flächendichte?
Man sollte so formeln nie benutzen, ohne die Definition der Groessen nachzusehen!
in der Formel ist wohl [mm] \mu [/mm] wohl das einzelne Drehmoment also p*r
> ist mein Ansatz ansatzweise richtig?
Hoffentlich jetzt klar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Fr 16.02.2007 | | Autor: | pisty |
Hallo,
ich sehe irgendwie gerade nicht mehr richtigdurch. Sorry!
also statt der Flächendichte [mm] p(x,y)=x^2+y^2 [/mm] habe ich jetzt wegen der Polarkoordinaten eine neue Flächendichte von p(x,y)=r.
Mir bleibt jetzt aber die Frage wie ihr auf r* [mm] r^2 [/mm] kommt?
aus [mm] x^2+y^2 [/mm] wird ja [mm] r*cos\phi^2 [/mm] + [mm] r*sin\phi^2.
[/mm]
Daraus ergibt sich doch dass die Flächendichte jetzt p(x,y)=r ist.
also nehme ich für die Gesamtmasse jetzt folgenden Ansatz zur Berechnung
[mm] \integral_{0}^{pi}\integral_{0}^{R}{r * d?d?}
[/mm]
wie kommt ihr genau auf die neuen Integrationsvariablen von r und [mm] \phi [/mm] ?
Welchen Ansatz nehme ich für die Berechnung der Y-Koordinate?
vielen Dank
pisty
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Hmmm, ich habe vergessen, dir einen Link zu geben. Hier ist er!. Im zweiten Beitrag habe ich da ziemlich genau beschrieben, wie man das macht, und wie das zusätzliche r da hinein bringt.
Deine neuen Koordinaten sind natürlich [mm] \phi [/mm] und r. Über die wird auch integriert.
Warum jetzt das zusätzliche r da reinkommt:
Ein Stück dxdy ist immer ein kleines, quadratisches Element, das immer gleich groß ist.
Ein Srück [mm] $drd\phi$ [/mm] ist nun eher ein STück, das aus einem Ring herausgeschnitten wird. Die Breite und der Winkel definieren dieses Stück. ABER: wenn der Ring größer ist, dann definiert das gleiche [mm] $drd\phi$ [/mm] eine größere Fläche. Nun, mit etwas Überlegung kommst du darauf, daß diese Fläche tatsächlich durch [mm] $r*drd\phi$ [/mm] beschrieben wird! (Unter anderem bekommst du als Einheit dann auch wieder ne Fläche, der Winkel hat ja keine Einheit!)
Wie gesagt, wie das rechnerisch geht, das entnimmst du meinem Link oben.
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Die Dichte beträgt nicht r, sondern [mm] r^2, [/mm] da [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 sin^2\phi [/mm] + [mm] r^2cos^2\phi [/mm] ist.
Stelle dir einfach eine Parabel mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor. Wenn diese um die y-Achse rotiert, erhältst du zwischen dem Boden, den die nun mitrotierende x-Achse bildet, und dem rotierenden Graphen einen Drehkörper, der im Abstand r die Höhe [mm] r^2 [/mm] hat.
Diese Höhe entspricht also der Flächendichte, sein Volumen somit der Masse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt wird klar: Der Schwerpunkt des Körpers liegt wegen der Rotationssymmetrie im Ursprung, da muss man gar nichts nachrechnen (darf man aber zu Übungszwecken).
Zur Massenberechnung teilt man jetzt die Fläche in Ringe auf, die den Abstand r und die Dicke dr haben. solch ein Ring hat die Fläche [mm] 2\pi [/mm] r dr (Umfang mal Breite, da die Breite dr ganz klein ist). Diese multiplizierst du mit der Dichte [mm] r^2 [/mm] und erhältst für den ganzen Ring die Masse dm = 2 [mm] \pi [/mm] r^3dr. Dies integrierst du von r=0 bis r=R.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Pssst! Hier gehts um nen Halbkreis, nicht Vollkreis 
Aber sonst schöne Erklärung!
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Hab ich verschlafen! Also: Masse ist nur halb so groß - klar
Bleibt man bei der Zeichnung, muss man jetzt vor dem Integrieren den einzelnen Ring noch zerlegen, am besten so:
Flächenstückchen = Bogenlängenstückchen mal Breite = r [mm] d\phi [/mm] dr
Massenstückchen = Flächenstückchen * [mm] \rho [/mm] = [mm] r^3 d\phi [/mm] dr.
Nun muss man den Wert noch mit dem jeweiligen Abstand von der x-Achse multiplizieren, also mit r sin [mm] \phi. [/mm] So erhält man als Drehmoment-Anteil (g als Gravitationsfaktor lassen wir weg)
dM = [mm] r^4 sin\phi d\phi [/mm] dr. Dies integriert man von [mm] \phi=0 [/mm] bis 180 ° und r = 0 bis R. Dividiert man diesen Wert nun durch die Masse des halben Rotationskörpers, so ergibt sich der y-Wert des Schwerpunktes.
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