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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 So 30.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Ich hab hier eine Definition vom Schwachen Gesetz der großen Zahlen,die ich aber nicht so ganz verstehe:
"Die Wahrscheinlichkeit, dass bei fortgesetzter Durchführung eines Zufallsexperiments die relative Häufigkeit eines Ereignisses ab einer bestimmten Anzahl von Durchführungen um weniger als [mm] \varepsilon>0 [/mm] von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses abweicht, ist 1.
Den Anfang versteh ich ja,aber den Teil "um weniger als [mm] \varepsilon>0 [/mm] von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses abweicht" versteh ich nicht.
Was bedeutet dieses [mm] \varepsilon [/mm] und was ist mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gemeint?
Kann man sich das vielleicht an einem Beispiel deutlich machen, z.B. Würfelwurf.
Sagen wir mal ich würfel 200 mal und die relative Häufigkeit der Zahl 5 beträgt 0,187.So, und wie kann man das Gesetz nun auf dieses Beispiel anwenden,das ist mir nicht so klar?
Kann mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank
lg
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> Hallo zusammen^^
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> Ich hab hier eine Definition vom Schwachen Gesetz der
> großen Zahlen, die ich aber nicht so ganz verstehe:
>
> "Die Wahrscheinlichkeit, dass bei fortgesetzter
> Durchführung eines Zufallsexperiments die relative
> Häufigkeit eines Ereignisses ab einer bestimmten Anzahl
> von Durchführungen um weniger als [mm]\varepsilon>0[/mm] von der
> Wahrscheinlichkeit des Ereignisses abweicht, ist 1.
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> Den Anfang versteh ich ja,aber den Teil "um weniger als
> [mm]\varepsilon>0[/mm] von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
> abweicht" versteh ich nicht.
> Was bedeutet dieses [mm]\varepsilon[/mm] und was ist mit der
> Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gemeint?
> Kann man sich das vielleicht an einem Beispiel deutlich
> machen, z.B. Würfelwurf.
> Sagen wir mal ich würfel 200 mal und die relative
> Häufigkeit der Zahl 5 beträgt [mm] \red{0,187} [/mm] .
Das ist nicht mal möglich - entscheide dich zwischen
0.185 und 0.19 !
> So, und wie kann man das Gesetz nun auf dieses
> Beispiel anwenden,das ist mir nicht so klar?
Hallo Mandy,
bei dem vorgeschlagenen Experiment, wo du also
z.B. in 200 Würfen 37 mal die 5 erhalten hast,
lässt sich der Satz nicht wirklich anwenden, insbe-
sondere da 200 noch nicht wirklich eine sehr große
Zahl ist.
Nehmen wir einmal an, der Würfel sei zwar nicht
absolut symmetrisch, und die Wahrscheinlichkeit
für eine 5 im einzelnen Wurf sei nicht [mm] \frac{1}{6}=0.1666..... [/mm] ,
sondern zum Beispiel exakt $0.17$ . Dann wären beim
200-maligen Würfeln mit diesem Würfel im Mittel
200*0.17=34 Fünfer zu erwarten. Die 37 Fünfer
in 200 Würfen stellen zwar ein absolut realistisches
Ergebnis dar, obwohl die Abweichung |h-p| zwischen
relativer Häufigkeit h und Wahrscheinlichkeit p noch
0.00333.... beträgt. Wenn man statt nur 200 Würfe
mit diesem Würfel 200'000 ausführen würde, wäre
allerdings ein Ergebnis von 37'000 Fünfern keines-
wegs mehr "normal", sondern sehr, sehr unwahr-
scheinlich.
Das Schwache Gesetz der großen Zahlen besagt
für diesen Würfel mit p(5)=0.17: Wählen wir für
Epsilon eine beliebige (kleine) positive Zahl [mm] \varepsilon>0 [/mm]
und betrachten wir dann Wurfserien von jeweils
n Würfen mit sehr großen Wurfzahlen n, so strebt
die Wahrscheinlichkeit [mm] P(|h-p|)=P(|h-0.17|<\varepsilon) [/mm] gegen
Eins, wenn [mm] n\to\infty [/mm] strebt. Für [mm] \epsilon= [/mm] 0.003
würde dies also heißen: Die Wahrscheinlichkeit,
dass |h-p|<0.003 oder anders ausgedrückt, dass
0.167<h<0.173 ist, strebt gegen Eins. Umgekehrt
betrachtet bedeutet dies insbesondere, dass man
mit genügend großen Wurfserien mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit ausschließen kann, dass es sich
bei dem Würfel um einen "fairen" Würfel handelt.
Die damit verbundene Logik ist zugegebenermaßen
ein wenig verzwickt...
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 30.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank schonmal.
Ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden.Kann man das so sagen,dass wenn die Anzahl n der Würfe gegen [mm] \infty [/mm] strebt, die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Ereigenisses,z.B. der 5, irgenwann nur noch einen minimalen unterschied haben werden?
Also die Wahrscheinlichkeit für die 5 ist in unserem Fall 0.17 und wenn man jetzt über 30000000 oder mehr Würfe durchführt wird die realtive Häufigkeit irgenwann auch 0.17 sein?Das heißt alle Zahlen würden ungefähr gleich oft gewürfelt werden?
Ist das so in Ordnung?
lg
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> Ok,vielen Dank schonmal.
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> Ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden.Kann man das
> so sagen,dass wenn die Anzahl n der Würfe gegen [mm]\infty[/mm]
> strebt, die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit
> eines Ereigenisses, z.B. der 5, irgendwann nur noch einen
> minimalen Unterschied haben werden?
Das ist richtig. Die exakte Aussage des Satzes ist allerdings
auch nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage: Es wird zwar
bei endlichen Wurfzahlen n nicht absolut unmöglich, aber
extrem unwahrscheinlich, dass Abweichungen größer als
[mm] \varepsilon [/mm] noch auftreten können.
> Also die Wahrscheinlichkeit für die 5 ist in unserem Fall
> 0.17 und wenn man jetzt über 30000000 oder mehr Würfe
> durchführt wird die relative Häufigkeit irgendwann auch
> 0.17 sein?
Sie kommt mit genügend grossen n jedenfalls beliebig nahe
an 0.17 heran.
> Das heißt alle Zahlen würden ungefähr gleich
> oft gewürfelt werden?
Vorsicht: ich habe als Beispiel einen nicht ganz fairen
Würfel genommen. Auch für einen solchen gilt das
Gesetz der grossen Zahl, aber es werden definitiv
nicht alle Augenzahlen gleich häufig gewürfelt.
Für einen idealen Würfel mit [mm] p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=\frac{1}{6}
[/mm]
würden in sehr grossen Wurfserien alle relativen
Häufigkeiten [mm] h_i [/mm] gegen [mm] \frac{1}{6} [/mm] konvergieren.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 So 30.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,jetzt hab ichs verstanden,danke nochmal =)
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