Gesetz der Großen Zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Tag Leute,
irgendwie bin ich gerade etwas irritiert und hoff mal, dass hier jemand Ordnung in die Sache bringen kann.
Also mir ist das Gesetz der großen Zahlen bekannt, sowohl starkes als auch schwaches.
Jetzt mal angenommen wir haben eine Münze, die mit W'keit [mm] \bruch{1}{50} [/mm] Kopf(1) und dementsprechend mit W'keit [mm] \bruch{49}{50} [/mm] Zahl(0) zeigt.
Sei weiter [mm] S_n:=\sum_{i\in{\IN}}^n X_i\text{ mit }(X_i)_{i\in{\IN}}\text{ i.i.d. und }X_1\sim{Ber(\bruch{1}{50})}.
[/mm]
Rein intuitiv ist ja klar, dass es immer wahrscheinlicher wird Kopf zu treffen je öfter ich die Münze werfe,
denn irgendwann erscheint ja sicher Kopf.
Was hat das nun mit dem Gesetz der großen Zahlen zu tun?
Das sagt mir ja nur, dass [mm] \bruch{S_n}{n} [/mm] gegen [mm] E[X_1]=\bruch{1}{50} [/mm] konvergiert nicht aber, dass die W'keit einmal Kopf zu treffen für [mm] n\to{\infty} [/mm] gerade 1 ist.
Wenn das aber nicht das Gesetz der großen Zahlen ist, was für ein Satz ist das dann?
Wär toll, wenn mir jemand helfen könnt. Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 06.07.2010 | | Autor: | abakus |
> siehe unten
> Tag Leute,
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> irgendwie bin ich gerade etwas irritiert und hoff mal, dass
> hier jemand Ordnung in die Sache bringen kann.
> Also mir ist das Gesetz der großen Zahlen bekannt, sowohl
> starkes als auch schwaches.
> Jetzt mal angenommen wir haben eine Münze, die mit W'keit
> [mm]\bruch{1}{50}[/mm] Kopf(1) und dementsprechend mit W'keit
> [mm]\bruch{49}{50}[/mm] Zahl(0) zeigt.
> Sei weiter [mm]S_n:=\sum_{i\in{\IN}}^n X_i\text{ mit }(X_i)_{i\in{\IN}}\text{ i.i.d. und }X_1\sim{Ber(\bruch{1}{50})}.[/mm]
>
> Rein intuitiv ist ja klar, dass es immer wahrscheinlicher
> wird Kopf zu treffen je öfter ich die Münze werfe,
> denn irgendwann erscheint ja sicher Kopf.
Hallo, das hat mit Intuition nichts zu tun, das ist ein Grenzwertprozess.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf in n Versuchen berechnet sich über das Gegenereignis mit [mm] 1-(\bruch{49}{50})^n.
[/mm]
Der Grenzwert für n gegen unendlich ist für diesen Term nun mal 1.
Gruß Abakus
> Was hat das nun mit dem Gesetz der großen Zahlen zu tun?
> Das sagt mir ja nur, dass [mm]\bruch{S_n}{n}[/mm] gegen
> [mm]E[X_1]=\bruch{1}{50}[/mm] konvergiert nicht aber, dass die
> W'keit einmal Kopf zu treffen für [mm]n\to{\infty}[/mm] gerade 1
> ist.
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> Wenn das aber nicht das Gesetz der großen Zahlen ist, was
> für ein Satz ist das dann?
> Wär toll, wenn mir jemand helfen könnt. Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay da hast du natürlich Recht, vielen Dank.
Aber trotzdem nochmal die Frage, ob das dann nichts mit dem Gesetz der großen Zahlen zu tun?!
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> Aber trotzdem nochmal die Frage, ob das dann nichts mit dem
> Gesetz der großen Zahlen zu tun?!
Hallo kegel53,
du musst dir jeweils klar bewusst machen, mit welchem Zufalls-
experiment und mit welcher Wahrscheinlichkeit du dich genau
befassen willst. In deinem Beispiel mit dem n-maligen Werfen
einer (extrem asymmetrischen) "Münze" hast du irgendwie
schon zwei verschiedene Betrachtungsweisen vermengt:
A) [mm] p_A(n) [/mm] = P(in einem beliebigen der n Würfe zeigt die Münze Kopf)
B) [mm] p_B(n) [/mm] = P(in einer Serie von n Würfen zeigt die Münze mindestens
einmal Kopf)
Auf beide Experimente kann man die "Gesetze der großen Zahlen"
anwenden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hmm.. okay danke dankeschön.
Könntest du gerade an den beiden Beispielen zeigen, wie die Anwendung des Gesetztes der Großen Zahlen konkret aussieht?!
Das wär echt super, dann fällt bei mir vielleicht auch der Groschen!
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> Hmm.. okay danke dankeschön.
> Könntest du gerade an den beiden Beispielen zeigen, wie
> die Anwendung des Gesetztes der Großen Zahlen konkret
> aussieht?!
>
> Das wär echt super, dann fällt bei mir vielleicht auch
> der Groschen!
Naja, ich versuche es mal am ersten Beispiel:
Wir denken uns, dass mit der Münze eine unendliche Wurfserie
gemacht werde. [mm] k_n [/mm] sei die Anzahl "Kopf"-Würfe unter den ersten
n Würfen. Falls wir voraussetzen dürfen, dass P(Kopf)=1/50 für
den einzelnen Wurf, und falls die Würfe unabhängig voneinander
sind, sagt das schwache Gesetz:
[mm] $\limes_{n\to \infty}P\left(\left|\frac{k_n}{n}-\frac{1}{50}\right|>\varepsilon\right)\ [/mm] =\ 0$
für jedes noch so kleine positive [mm] \varepsilon [/mm] .
Um jetzt das zweite Beispiel anhand derselben Wurfserie
analog zu betrachten, definieren wir die Folge
$\ [mm] a_n\,:=\ \begin{cases} 0 & \mbox{falls } k_n=0 \\ 1 & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Hier sagt das schwache Gesetz:
[mm] $\limes_{n\to \infty}P\left(\left|a_n-1\right|>\varepsilon\right)\ [/mm] =\ 0$
für jedes noch so kleine positive [mm] \varepsilon [/mm] .
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay vielen Dank!!
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