Gesetz der grossen Zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Di 19.03.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Wenn ich eine Folge von iid Zv. habe [mm] T_i[/mm] mit endlichem Erwartungswert, dann weiss ich ja:
[mm]\frac{T_n}{n}\to E[T_1]=1[/mm] a.s.
Wieso folgt nun daraus, dass
[mm] \frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k-k|\to 0 [/mm] a.s.
Ich weiss, dass [mm]\frac{T_k}{n}\to 1[/mm] a.s. weil es ja gelten muss [mm]k\le n[/mm] und für [mm] k\to \infty[/mm] muss auch [mm]n\to \infty[/mm]. Aber irgendwie schaffe ich das nicht sauber hinzuschreiben mit dem Supremum und dem [mm]-k[/mm]. Also danke für die Hilfe.
grüsschen
hula
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Hiho,
> Hallöchen
>
> Wenn ich eine Folge von iid Zv. habe [mm]T_i[/mm] mit endlichem
> Erwartungswert, dann weiss ich ja:
>
> [mm]\frac{T_n}{n}\to E[T_1]=1[/mm] a.s.
Nein,
du weißt [mm] $\frac{1}{n}\summe_{i=1}^n T_i \to E[T_1]$.
[/mm]
Das ist was ganz anderes.
Zusätzlich muss für obige Gleichheit [mm] $E[T_1] [/mm] = 1$ gelten.
> Wieso folgt nun daraus, dass
>
> [mm]\frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k-k|\to 0[/mm] a.s.
Tut es nicht.
Da aber ja schon deine Grundaussage bezüglich des starken Gesetzes falsch ist, solltest du vielleicht nochmal nachlesen, was überhaupt die korrekten Voraussetzungen und Aussagen sind, die du zeigen sollst.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 19.03.2013 | | Autor: | hula |
Hallo gonozal
Mea culpa. Ich hätte präziser sein sollen. Es gilt natürlich [mm] T_i:=\sum_{k=1}^i Y_i[/mm]
dann habe ich ja wie bereits gesagt, dass [mm]\frac{T_n}{n}\to E[T_1]=1[/mm], wobei [mm] $Y_i$ [/mm] iid mit Erwartungswert $1$. Wieso gilt nun die von mir angeschriebene Gleichung?
[mm]\frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k-k|\to 0[/mm] a.s. ?
Danke für deine Hilfe!
Grüsschen
hula
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Hiho,
wo kommt die Aussage denn her?
Ich bin mir gar nicht so sicher, ob sie überhaupt stimmt.....
Das einzige, was du sofort zeigen kannst, ist:
[mm] $\bruch{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k [/mm] - k| = [mm] \bruch{1}{n}\sup_{k\le n}k*|\bruch{T_k}{k} [/mm] - 1| [mm] \le \bruch{n}{n}\sup_{k\le n}|\bruch{T_k}{k} [/mm] - 1| = [mm] \sup_{k\le n}|\bruch{T_k}{k} [/mm] - 1| < [mm] \infty$
[/mm]
Aber ich seh bisher keinen Grund, warum [mm] $k*|\bruch{T_k}{k} [/mm] - 1|$ langsam genug wachsen soll, so dass deine Aussage gilt.
edit: Doch, jetzt sehe ich es.
Schreibe mal formal auf, was es nach der Definition bedeutet, dass eine Folge gegen Null geht.
Also "Für alle [mm] $\varepsilon>0 \ldots$" [/mm] und dann versuche genau das zu zeigen.
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 20.03.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
So, ich hab jetzt da mal was probiert. Bitte sag mir doch ob es korrekt ist:
Sei [mm] $\epsilon>0$, [/mm] dann weiss ich, dass es ein $K$ gibt, so dass
[mm] $|\frac{T_k}{k}-1|<\epsilon$ [/mm]
für alle [mm] $k\ge [/mm] K$. Insbesondere gilt daher:
[mm] $\sup_{k\ge K}|\frac{T_k}{k}-1|\le\epsilon \hspace{12pt}(1)$
[/mm]
Ich muss zeigen: für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein $N$, sodass [mm] $\frac{1}{n}\sup_{N\le k\le n}|T_k -k|<\epsilon$. [/mm] Ich behaupte, dass für $N=K$, die Aussage gilt, da:
[mm] $\frac{1}{n}\sup_{K\le k\le n}|T_k -k|\le \sup_{K\le k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \sup_{k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \epsilon$
[/mm]
Stimmt mein Beweis? Danke für die Hilfe!!!!
greetz
hula
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Hiho,
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm], dann weiss ich, dass es ein [mm]K[/mm] gibt, so dass
[mm]|\frac{T_k}{k}-1|<\epsilon[/mm]
> für alle [mm]k\ge K[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Insbesondere gilt daher: [mm]\sup_{k\ge K}|\frac{T_k}{k}-1|\le\epsilon \hspace{12pt}(1)[/mm]
> Ich muss zeigen: für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N[/mm], sodass [mm]\frac{1}{n}\sup_{N\le k\le n}|T_k -k|<\epsilon[/mm].
> Ich behaupte, dass für [mm]N=K[/mm], die Aussage gilt, da:
>
> [mm]\frac{1}{n}\sup_{K\le k\le n}|T_k -k|\le \sup_{K\le k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \sup_{k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \epsilon[/mm]
Deine letzte Ungleichung ist nicht korrekt, da [mm] $T_1 [/mm] - 1$ in den seltensten Fällen fast sicher gleich Null sein wird.
> Stimmt mein Beweis? Danke für die Hilfe!!!!
Der Anfang stimmt, nur zu Ende hast du ihn nicht geführt!
Du hast bisher:
[mm] $\frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k [/mm] -k| = [mm] \frac{1}{n}\max\left\{\max_{k
Jetzt weiter: Du musst immer noch zeigen, dass es ein N gibt, so dass:
[mm] $\frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k [/mm] -k| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] N$
Bisher hast du nur:
[mm] $\frac{1}{n}\sup_{k\le n}|T_k [/mm] -k| [mm] \le \max\left\{\frac{1}{n}\max_{k
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Do 21.03.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
> >
> > [mm]\frac{1}{n}\sup_{K\le k\le n}|T_k -k|\le \sup_{K\le k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \sup_{k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \epsilon[/mm]
>
>
> Deine letzte Ungleichung ist nicht korrekt, da [mm]T_1 - 1[/mm] in
> den seltensten Fällen fast sicher gleich Null sein
> wird.
>
Ich bin nicht deiner Meinung! =) : Erste Ungleichung wurde von dir ja gezeigt, die zweite ist aber trivial, da das Supremum über eine grössere Menge genommen wird, also nur grösser werden kann.
greetz
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Do 21.03.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich bin nicht deiner Meinung! =) : Erste Ungleichung wurde von dir ja gezeigt, die zweite ist aber trivial, da das Supremum über eine grössere Menge genommen wird, also nur grösser werden kann.
Das stimmt. Aber deine Abschätzung führt dann dazu, dass der Spaß nicht mehr kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] bleibt aus den Gründen, die ich dir nannte 
Wäre der Ausdruck wie du ihn hinschreibst immer kleiner als jedes [mm] \varepsilon [/mm] wäre jedes [mm] $|\bruch{T_k}{k} [/mm] - 1|$ Null, was allgemein nicht der Fall ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:37 Do 21.03.2013 | | Autor: | hula |
hallo Gono
Vielleicht stehe ich total auf dem Schlauch.
Nochmals: Ich muss zeigen: für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N[/mm],
sodass [mm]\frac{1}{n}\sup_{N\le k\le n}|T_k -k|<\epsilon[/mm]. Wenn ich das zeigen kann, bin ich fertig.
> Ich behaupte, dass für [mm]N=K[/mm], die Aussage gilt, da:
>
> > [mm]\frac{1}{n}\sup_{K\le k\le n}|T_k -k|\le \sup_{K\le k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \sup_{k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \epsilon[/mm]
>
>
Ja das sollte heissen:
[mm]\frac{1}{n}\sup_{K\le k\le n}|T_k -k|\le \sup_{K\le k\le n}|\frac{T_k}{k} -1|\le \sup_{K\le k}|\frac{T_k}{k} -1|\le \epsilon[/mm]
Das ist doch genau das was ich zeigen sollte, oder wieso nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 05.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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