Gesetz der großen zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Sa 01.06.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Schwaches Gesetz der großen Zahlen:
Seien [mm] X_i [/mm] znabhängig und identisch verteilt mit [mm] EX_i [/mm] = m und Var [mm] X_i [/mm] = [mm] \sigma^2 [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] P(|1/n [mm] S_n [/mm] - m | [mm] \ge \epsilon [/mm] )=0 [mm] \forall \epsilon [/mm] >0
Gegenbeispiel zum Gesetz:
Sei [mm] (X_i) [/mm] unabhängig, identisch verteilt mit Dichte f(x)= [mm] 1/\pi \frac{1}{1+x^2}. [/mm] Mit Hilfe der Faltunsformel zeigt man, dass [mm] S_n/n [/mm] für alle n [mm] \in \In [/mm] die gleiche Verteilung => Gesetzt nicht wahr für soclhe [mm] X_i [/mm] |
Hallo, ich komme mit dem Gegenbeispiel zurzeit gar nicht zurrecht!
Für n=2:
[mm] f_{X_1 + X_2} [/mm] (x) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} 1/\pi^2 \frac{1}{1+y^2} [/mm] * [mm] \frac{1}{1+(x-y)^2} [/mm] dx
Allgemein:
[mm] f_{S_n} [/mm] (x) = [mm] \int \int [/mm] .. [mm] \int f_{X_1} (y_1) [/mm] .. [mm] f_{X_{n-1}} (y_{n-1}) *f_{X_n} [/mm] (x - [mm] y_1 [/mm] -.. [mm] -y_{n-1}) dy_1 [/mm] .. [mm] dy_{n-1}
[/mm]
Mir ist klar dass der Erwartungswert nicht definiert ist.
1) Wie komme ich auf die gleiche verteilung?
2) Inwiefern widerspricht das den schwachen Gesetzt der großen Zahlen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 01.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Liebes sissile,
ich moechte dich herzlich bitten, etwas mehr Sorgfalt beim Verfassen deiner Anfragen mehr Sorgfalt walten zu lassen. Stell dir vor, jemand ergoogelt Schwaches Gesetz der großen Zahlen, findet diesen Thread und liest Car $ [mm] X_i [/mm] $ = $ [mm] \sigma^2 [/mm] $ < $ [mm] \infty. [/mm] $, Faltunsgormel, usw. Dies wirft auch kein gutes Licht auf den MR ...
vg Luis
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Hiho,
> Für n=2:
> [mm]f_{X_1 + X_2}[/mm] (x) = [mm]\int_{-\infty}^{\infty} 1/\pi^2 \frac{1}{1+y^2}[/mm] * [mm]\frac{1}{1+(x-y)^2}[/mm] dx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$= [mm] \bruch{1}{\pi^2 (1+y^2)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+(x-y)^2} \, [/mm] dx$
Und dieses Integral kannst du doch ausrechnen!
Was ist denn eine Stammfunktion von $g(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$?
[/mm]
Ein bisschen Umformen liefert dir dann welche Dichte für die Summe?
Wie ist X+Y dann also verteilt?
Der Rest folgt induktiv.
zur b) Na wenn du gezeigt hast, dass [mm] \bruch{S_n}{n} [/mm] immer gleich verteilt ungleich der Nullfunktion ist, wie soll denn dann [mm] $\bruch{S_n}{n} \to [/mm] 0$ in Wkeit gelten?
Dann gilt doch:
[mm] $P\left(\bruch{S_n}{n} > \varepsilon\right) [/mm] = [mm] \IP(X_1 [/mm] > [mm] \varepsilon)$, [/mm] d.h. es ist konstant ungleich Null und kann damit nicht gegen Null gehen!
MFG,
Gono.
MFG,
Gono.
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