Gestellte Aufgabe < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Amenox |
| Aufgabe | Funktion: [mm] f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-^2x^2-5x+6
[/mm]
Zur Bestimmung der Nullstellen ist die erste Form des Term nützlich, zum Ableiten aber die zweite!
nach dem folgenden Schema:
1. Definitions- und Wertebereich, falls nicht schon angegeben oder trivial
.. soll heißen: für alle Zahlen aus R, also alle reellen Zahlen definiert
2. Symmetrie zu y-Achse (Achsensymmetrie) oder Ursprung (Punktsymmetrie)
3. Verhalten für Verhalten gegen unendlich
4. bei gebrochen-rationalen Funktionen:
* Definitionslücken, Asymptoten, (asymptotische Näherungsfunktion)
* Untersuchung der Nullstellen des Nenners: Polstellen
5. Nullstellen
6. Ableitungen
7. Extremstellen, -punkte
8. Wendestellen, -punkte, (Sattelpunkte)
9. Graph zeichnen |
1) Unbekannt (finde ich noch raus lösung später)
2) Symetrie nicht vorhanden da gemischte Exponenten
3) sagt mir noch garnichts
4) sagt mir noch garnichts
5) Da du auf den 1sten Term verwiesen hast und ich das hier schonmal gelesen habe würde ich Raten (Faktorenzerlegung x1=-1,x2=+2,x3=-3)
Da ich kein Freund von Raten bin dachte ich ich überprüfe es mal mit dem schön gelernten Hornscher Schema und P/Q-Formel
Und da bin ich beim ersten Problem Hornscher Schema sagt mir bei x=1 eine Nullstelle würde nicht zum Raten passen. aber eigentlich vertraue ich dem Hornschen Schema also ist im Umkehrschluß das was ich geraten habe falsch. (Bedeutet für mich ich geh suchen nach Faktoren zerlegung/Nullstellen)
Frage zu sich ergebenden Funktion aus dem Hornschen Schema.
Ergebnis Poly-Div x=1 [mm] x^2-x-6 [/mm] (Die Frage ist was tu ich mit dem x als p ?)
Kann ich für das x nicht einfach 1 einsetzen ? Nach dem Motto 1x = x ???
6) Kommt noch wenn 5 geklärt
7) Extremstellen (geforderte Bedingungen Ableitungen finde ich noch raus)
8) Ist die Berechnung nicht bekannt
9) mach ich dann wenn ich mich durchgehangelt habe (Ich denke mal mit eurem Plot-Programm)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Das geratene war wohl doch Richtig dann stellt sich die Frage was ist bei meinem Hornschen Schema Falsch
1 -2 -5 6
x1=1 1 -1 -6 0 (Nullstelle bei 1 ?!?!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Vergesst das habe die Formel falsch abgeschrieben sie müsste lauten
x=1 X2-1x-6 . Daraus kann ich p/q theoretisch nutzen (Mache ich aber erst morgen. Es ist spät und ich muss früh raus die Steine warten)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Das geratene war wohl doch Richtig dann stellt sich die
> Frage was ist bei meinem Hornschen Schema Falsch
>
> 1 -2 -5 6
> x1=1 1 -1 -6 0 (Nullstelle bei 1 ?!?!)
das hornerschema war verrutscht, aber dennoch korrekt!
$ f(x)=(x-1)(x+2)(x-3) $
hier musst du über das nullprodukt nachdenken. f(x) soll null sein, und das ist es, wenn einer der faktoren 0 ist (also wann ist eine der 3 klammern 0?)
und bei der ersten ist das wenn x=1 ist, also x=1 ist eine nullstelle (was horner uns ja bestätigt  )
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Hallo Amenox,
> Funktion: [mm]f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-x^2-5x+6[/mm]
> Zur Bestimmung der Nullstellen ist die erste Form des Term
> nützlich, zum Ableiten aber die zweite!
>
> nach dem folgenden Schema:
>
> 1. Definitions- und Wertebereich, falls nicht schon
> angegeben oder trivial
> .. soll heißen: für alle Zahlen aus R, also alle reellen
> Zahlen definiert
> 2. Symmetrie zu y-Achse (Achsensymmetrie) oder Ursprung
> (Punktsymmetrie)
> 3. Verhalten für Verhalten gegen unendlich
> 4. bei gebrochen-rationalen Funktionen:
> * Definitionslücken, Asymptoten, (asymptotische
> Näherungsfunktion)
> * Untersuchung der Nullstellen des Nenners: Polstellen
> 5. Nullstellen
> 6. Ableitungen
> 7. Extremstellen, -punkte
> 8. Wendestellen, -punkte, (Sattelpunkte)
> 9. Graph zeichnen
> 1) Unbekannt (finde ich noch raus lösung später)
Du musst überlegen, welche Zahlen du nicht für x einsetzen darfst, weil sie zu keinem Ergebnis (=  Funktionswert) führen; diese gehören dann nicht zum Definitionsbereich D.
Bei ganzrationalen Funktionen darf man alle Zahlen einsetzen; darum $D=R$
> 2) Symmetrie nicht vorhanden da gemischte Exponenten ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3) sagt mir noch garnichts
Du prüfst, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn [mm] x\to\pm\infty [/mm] wächst.
> 4) sagt mir noch garnichts
Da unsere Funktion ganzrational ist, gibt es keine Definitionslücken.
> 5) Da du auf den 1sten Term verwiesen hast und ich das
> hier schonmal gelesen habe würde ich raten
> (Faktorenzerlegung x1=-1,x2=+2,x3=-3)
Das ist bestenfalls "intelligentes Raten", aber im Ernst, dahinter steht der Satz vom Nullprodukt.
> Da ich kein Freund von Raten bin dachte ich ich überprüfe
> es mal mit dem schön gelernten Hornscher Schema und
> P/Q-Formel
Diese Methode heißt Horner-Schema und dient tatsächlich zum Überprüfen von Nullstellen, aber auch zum Berechnen von weiteren Funktionswerten in einer schematischen Weise.
>
> Und da bin ich beim ersten Problem Hornscher Schema sagt
> mir bei x=1 eine Nullstelle würde nicht zum Raten passen.
> aber eigentlich vertraue ich dem Hornschen Schema also ist
> im Umkehrschluß das was ich geraten habe falsch. (Bedeutet
> für mich ich geh suchen nach Faktoren
> zerlegung/Nullstellen)
>
> Frage zu sich ergebenden Funktion aus dem Hornschen
> Schema.
>
> Ergebnis Poly-Div x=1 [mm]x^2-x-6[/mm] (Die Frage ist was tu ich mit dem x als p ?)
Ergebnis ist also: [mm] f(x)=(x-1)(x^2-x-6) [/mm] ;
vor dem x steht eine 1: [mm] f(x)=(x-1)(x^2-1*x-6)
[/mm]
es gilt also: p=-1 und q=-6, um darauf die p-q-Formel anzuwenden.
>
> Kann ich für das x nicht einfach 1 einsetzen ? Nach dem
> Motto 1x = x ???
>
> 6) Kommt noch wenn 5 geklärt
> 7) Extremstellen (geforderte Bedingungen Ableitungen finde
> ich noch raus)
> 8) Ist die Berechnung nicht bekannt
> 9) mach ich dann wenn ich mich durchgehangelt habe (Ich
> denke mal mit eurem Plot-Programm)
Arbeite mal die ersten Punkte ab und stelle Fragen, indem du mit dem "Zitieren-Button" den Text kopierst und dann gezielt an den fraglichen Stellen nachhakst.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 25.06.2009 | | Autor: | Amenox |
> Hallo Amenox,
>
> > Funktion: [mm]f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-x^2-5x+6[/mm]
> > Zur Bestimmung der Nullstellen ist die erste Form des
> Term
> > nützlich, zum Ableiten aber die zweite!
> >
> > nach dem folgenden Schema:
> >
> > 1. Definitions- und Wertebereich, falls nicht schon
> > angegeben oder trivial
> > .. soll heißen: für alle Zahlen aus R, also alle reellen
> > Zahlen definiert
> > 2. Symmetrie zu y-Achse (Achsensymmetrie) oder Ursprung
> > (Punktsymmetrie)
> > 3. Verhalten für Verhalten gegen unendlich
> > 4. bei gebrochen-rationalen Funktionen:
> > * Definitionslücken, Asymptoten, (asymptotische
> > Näherungsfunktion)
> > * Untersuchung der Nullstellen des Nenners: Polstellen
> > 5. Nullstellen
> > 6. Ableitungen
> > 7. Extremstellen, -punkte
> > 8. Wendestellen, -punkte, (Sattelpunkte)
> > 9. Graph zeichnen
>
> > 1) [mm]D=R[/mm] Da ganz Rational
(Die Frage stellt sich was eine nicht "Ganzrationale Funktion" ist). Aber gut bei ganzrationalen gilt [mm]D=R[/mm] (Alle Zahlen möglich im Definitionsberreich.)
>
> > 2) Symmetrie nicht vorhanden da gemischte Exponenten
> > 3) sagt mir noch garnichts
> Du prüfst, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn
> [mm]x\to\pm\infty[/mm] wächst. ???? Immernoch
>
> > 4) Ebenfalls Keine Definitionslücke da Ganzrational (Frage zu eins stellt sich wieder :) )
> > 5)Durch Aufhebung zb:-1+1=0
> > (Faktorenzerlegung x1=1,x2=-2,x3=3)
> > Ergebnis Poly-Div x=1 [mm]x^2-x-6[/mm]
> Ergebnis ist also: [mm]f(x)=(x-1)(x^2-x-6)[/mm] ;
f(x)=(x-1) das gleiche wie x=1 ?
Und logikfrage: Ist Horner Schema+p/Q genauer als Faktoren zerlegung ? mit Faktoren waren die Ergebnisse x1=1; x2=-2; x3=3;....
Mit Horner/PQ: x1=1; x2=-2.4155; x3=3,4155 (Nun gut gerundet sind es die selben Ergebnisse. ?!?!?
> > 6) f(x) [mm] x^3-x^2-5x+6
[/mm]
[mm] f´(x)=3x^2-2x-5
[/mm]
f´´(x)=6x-2
f´´´(x)=6
> > 7) Extremstellen (geforderte Bedingungen Ableitungen
> finde
> > ich noch raus)
> > 8) Ist die Berechnung nicht bekannt
> > 9) mach ich dann wenn ich mich durchgehangelt habe (Ich
> > denke mal mit eurem Plot-Programm)
Gruß Amenox
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amenox!
Eine nicht ganz-rationale Funktion wäre z.B. eine gebrochen-rationale Funktion wie:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{2x}{x^2-1}$$
[/mm]
Hier gibt es z.B. bei [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ Definitionslücken, da man bekannterweise nicht durch Null teilen darf.
Auch trigonometrische Funktionen wie $g(x) \ = \ [mm] \tan(x)$ [/mm] sind nicht ganz-rational.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 26.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Hallo Amenox,
> >
> > > Funktion: [mm]f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-x^2-5x+6[/mm]
> > > Zur Bestimmung der Nullstellen ist die erste Form
> des
> > Term
> > > nützlich, zum Ableiten aber die zweite!
> > >
> > > nach dem folgenden Schema:
> > >
> > > 1. Definitions- und Wertebereich, falls nicht schon
> > > angegeben oder trivial
> > > .. soll heißen: für alle Zahlen aus R, also alle reellen
> > > Zahlen definiert
> > > 2. Symmetrie zu y-Achse (Achsensymmetrie) oder Ursprung
> > > (Punktsymmetrie)
> > > 3. Verhalten für Verhalten gegen unendlich
> > > 4. bei gebrochen-rationalen Funktionen:
> > > * Definitionslücken, Asymptoten, (asymptotische
> > > Näherungsfunktion)
> > > * Untersuchung der Nullstellen des Nenners: Polstellen
> > > 5. Nullstellen
> > > 6. Ableitungen
> > > 7. Extremstellen, -punkte
> > > 8. Wendestellen, -punkte, (Sattelpunkte)
> > > 9. Graph zeichnen
> >
> > > 1) [mm]D=R[/mm] Da ganz Rational
>
> (Die Frage stellt sich was eine nicht "Ganzrationale
> Funktion" ist). Aber gut bei ganzrationalen gilt [mm]D=R[/mm] (Alle
> Zahlen möglich im Definitionsberreich.)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> >
> > > 2) Symmetrie nicht vorhanden da gemischte Exponenten
> > > 3) sagt mir noch garnichts
> > Du prüfst, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn
> > [mm]x\to\pm\infty[/mm] wächst. ???? Immernoch
> >
Da gibt es bei ganzrationalen Funktionen zwei "grundwarianten, die man sich mit dem Graphen von [mm] x^{4} [/mm] und [mm] x^{3} [/mm] vernaschaulichen kann.
Dazu mache folgendes Schritte.
Forme (sofern du das nicht schon gegeben hast) f(x) in die Form [mm] f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}x^1{n-1}+\ldots [/mm] um.
Und jetzt betrachte den höchsten Exponenenten n. Ist n gerade, hast du als "Grundform" den grünen Graph, ist n ungerade, hast du einen Graph der violetten Form.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann schue dir das Vorzeichen von [mm] a_{n} [/mm] an. ist es "+", ändert sich am Grenzwert nichts mehr, ist es "-", verändern die die Funktionsgraphen (aus dem violettem Verlauf wird der rote, aus dem hellgrünen wird der dunkelgrüne)
> > > 4) Ebenfalls Keine Definitionslücke da Ganzrational (Frage
> zu eins stellt sich wieder :) )
> > > 5)Durch Aufhebung zb:-1+1=0
> > > (Faktorenzerlegung x1=1,x2=-2,x3=3)
> > > Ergebnis Poly-Div x=1 [mm]x^2-x-6[/mm]
> > Ergebnis ist also: [mm]f(x)=(x-1)(x^2-x-6)[/mm] ;
> f(x)=(x-1) das gleiche wie x=1 ?
> Und logikfrage: Ist Horner Schema+p/Q genauer als Faktoren
> zerlegung ? mit Faktoren waren die Ergebnisse x1=1; x2=-2;
> x3=3;....
> Mit Horner/PQ: x1=1; x2=-2.4155; x3=3,4155 (Nun gut
> gerundet sind es die selben Ergebnisse. ?!?!?
Da hast du irgendwo nen Dreher drin, die Ergebnisse sollten gleich sein.
> > > 6) f(x) [mm]x^3-x^2-5x+6[/mm]
> [mm]f´(x)=3x^2-2x-5[/mm]
> f´´(x)=6x-2
> f´´´(x)=6
> > > 7) Extremstellen (geforderte Bedingungen Ableitungen
> > finde
> > > ich noch raus)
> > > 8) Ist die Berechnung nicht bekannt
> > > 9) mach ich dann wenn ich mich durchgehangelt habe (Ich
> > > denke mal mit eurem Plot-Programm)
>
> Gruß Amenox
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
> Da gibt es bei ganzrationalen Funktionen zwei
> "grundwarianten, die man sich mit dem Graphen von [mm]x^{4}[/mm] und
> [mm]x^{3}[/mm] vernaschaulichen kann.
>
> Dazu mache folgendes Schritte.
>
> Forme (sofern du das nicht schon gegeben hast) f(x) in die
> Form [mm]f(x)=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}x^1{n-1}+\ldots[/mm] um.
>
> Und jetzt betrachte den höchsten Exponenenten n. Ist n
> gerade, hast du als "Grundform" den grünen Graph, ist n
> ungerade, hast du einen Graph der violetten Form.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann schue dir das Vorzeichen von [mm]a_{n}[/mm] an. ist es "+",
> ändert sich am Grenzwert nichts mehr, ist es "-", verändern
> die die Funktionsgraphen (aus dem violettem Verlauf wird
> der rote, aus dem hellgrünen wird der dunkelgrüne)
Kann mir das einer vielleicht etwas genauer erleutern wegen Formel umwandlung und oder Rechnung? Ich verstehe nicht was ich dazu finde :(
Desweiteren verstehe ich zwar die graphen aber die Frage ist wie wird das ganze formuliert also das sie steigend oder fallend ist ?
>
> > > > 6)[mm] f(x) x^3-x^2-5x+6[/mm]
> > [mm]f´(x)=3x^2-2x-5[/mm]
> > f´´(x)=6x-2
> > f´´´(x)=6 Ist das so korrekt ?
> 7) Extremstellen: Ich weis nun das 1 Ableitung=0; 2 Abletung >0< TP/HP;........ Und wenn 2 Ableitung 0 Dann Sattelpunkt. Aber woran mache ich einen Wendepunkt fest?
> > Gruß Amenox
>
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> > > > > 6)[mm] f(x) =x^3-x^2-5x+6[/mm]
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> Kann mir das einer vielleicht etwas genauer erleutern wegen
> Formel umwandlung und oder Rechnung? Ich verstehe nicht was
> ich dazu finde :(
> Desweiteren verstehe ich zwar die graphen aber die Frage
> ist wie wird das ganze formuliert also das sie steigend
> oder fallend ist ?
Hallo,
meine Güte, es wäre echt hilfreich, würdest Du dazusagen, bei welcher Teilaufgabe Du bist.
Umfangreiche Forschungsarbeiten haben ergeben, daß Du bei Teilaufgabe 3) bist, Dich also für das Verhalten der Funktion für [mm] x\to \pm\infty [/mm] interessierst, als dafür, was an den beiden "Enden" des Graphen passierst.
Marius hat Dir - mehr oder weniger - folgendes gesagt:
ist der größte Exponent (Hochzahl) gerade, dann ist das Verhalten an beiden Enden gleich.
Ist er ungerade, ist das verhalten an beiden Enden verschieden.
Zusätzlich muß man noch anschauen, ob die Zahl mit der das größte [mm] x^n [/mm] multipliziert wird, größer oder kleiner als Null ist.
a) Höchster Exponent gerade, Zahl davor positiv (z.B. [mm] f(x)=5x^4+x^3+2, [/mm] grüner Graph): sowohl für [mm] x\to \infty [/mm] als auch für [mm] x\to-\infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] \infty. [/mm]
b) Höchster Exponent gerade, Zahl davor negativ (z.B. [mm] f(x)=-5x^4+x^3+2, [/mm] schwarzer Graph): sowohl für [mm] x\to \infty [/mm] als auch für [mm] x\to-\infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] -\infty. [/mm]
c) Höchster Exponent ungerade, Zahl davor positiv(z.B. [mm] f(x)=5x^7+x^3+2, [/mm] violetter graph): für [mm] x\to \infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] \infty, [/mm] für [mm] x\to -\infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] -\infty
[/mm]
d) Höchster Exponent ungerade, Zahl davor negativ(z.B. [mm] f(x)=-5x^7+x^3+2, [/mm] violetter graph): für [mm] x\to \infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] -\infty, [/mm] für [mm] x\to -\infty [/mm] geht f(x) gegen [mm] +\infty
[/mm]
Zu welchem Typ gehört nun Deine Funktion?
Schreiben kannst Du beispielsweise so: [mm] \lim_{x\to -\infty}g(x)=\infty.
[/mm]
Ich hoffe, daß das, was ich hier erklärt habe, eine Frage war.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Eine Antwort auf eine Frage :) In meinen Augen war das die bisher goldenste Antwort von allen, da sie wirklich sehr einfach einen Weg aufzeigt sich der Fragestellung gegen unendlich zu stellen. Ohne auch nur einen Schimmer davon zu haben. Wie im anderen Posting erwähnt, mache ich die Nichtschülerprüfung. Da ich in Mathe nie eine "Leuchte" war, habe ich Mathe "nur" mündlich genommen. Deshalb hoffe ich doch schwer, dass aus "Zeitgründen" und "Fragen aus verschiedenen Richtungen" ein Teilbereich mich nicht killen kann.
Schön wäre noch eine Korrektur der Ableitungen und mein Punkt 7 :)
Auf jeden Fall! Vielen lieben Dank für diese super einfache Erklärung für plonde plöde wie mich :)
LG
Amenox
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Hallo
die Ableitungen
[mm] f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^{2}-4x-5
[/mm]
f''(x)=6x-4
f'''(x)=6
die Extremstellen
[mm] 0=3x^{2}-4x-5
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-\bruch{4}{3}x-\bruch{5}{3}
[/mm]
[mm] x_1_2=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4}{9}+\bruch{5}{3}}
[/mm]
[mm] x_1_2=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{19}{9}}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19}
[/mm]
Klärung, Minimum oder Maximum
[mm] f''(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19})=6*(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19})-4=\bruch{12}{3}+2\wurzel{19}-4=2\wurzel{19}>0 [/mm]
also Minimum
[mm] f''(\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19})=6*(\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19})-4=\bruch{12}{3}-2\wurzel{19}-4=-2\wurzel{19}<0
[/mm]
also Maximum
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
OkiDoki ehm Ich kann mit deinen Nullstellen nichts anfangen. Da ich nicht weiss wie du zu ihnen gekommen bist. Aber ich habe extremum ebenfalls berechnet und hatte auch einen Hochpunkt für x=-2 und einen Tiefpunkt für x=3.
Habe gesehen das meine Ableitungen falsch sind. Habe zwar die logik dahinter begriffen aber irgendwie die [mm] -2x^2 [/mm] gefressen und hatte bei mir nur [mm] -x^2 [/mm] stehen :( habe es nochmal gemacht und kam auf die gleichen Abletungen :)
Die Frage zu 7 ist woran erkenne ich einen Wendepunkt an welchen Bedingungen ?
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> OkiDoki ehm Ich kann mit deinen Nullstellen nichts
> anfangen. Da ich nicht weiss wie du zu ihnen gekommen bist.
> Aber ich habe extremum ebenfalls berechnet und hatte auch
> einen Hochpunkt für x=-2 und einen Tiefpunkt für x=3.
Hallo,
was heißt "auch"?
Steffis Extremwerte sind doch ganz woanders!
Wie sie dazu gekommen ist? Erste Ableitung=0 gesetzt und die Gleichung gelöst. Das ist ja eine ganz normale quadratische Gleichung.
> Die Frage zu 7 ist woran erkenne ich einen Wendepunkt an
> welchen Bedingungen ?
Du kannst sicher sein, einen Wendepunkt gefunden zu haben, wenn an dieser Stelle die 2.Ableitung gleich 0 und die dritte ungleich 0 ist.
Gruß v. Angela
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Hallo, du machst folgenden Fehler:
die Funktion hat die Nullstellen [mm] x_1=-2; x_2=1 [/mm] und [mm] x_3=3
[/mm]
die 1. Ableitung hat die Nullstellen [mm] x_1=\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19}
[/mm]
die Nullstellen der 1. Ableitung sind interessant hinsichtlich der Extremstellen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Ok Also ich fasse mal zusammen wobei ich nun anders gegliedert habe. Alles aus dem Kopf ohne abschauen :) mit Ausnahme vom Verhalten das muss ich noch auswendig reinprügeln :)
1)Y-Achsenabschnitt +6 (war nicht gefordert habe aber gesehen das sonst scheinbar danach gefragt wird.
2) Difinitionsbereich nicht erforderlich da ganzrationale Funktion alle Reellen Zahlen möglich.
3) Keine Symetrie da unterschiedliche Exponenten (bei geraden Exponenten =Achsensymetrisch.... bei ungeraden Punktsymetrisch)
4) Nullstellen: x1=-2; x2=1; x3=3; Nach Faktorzerlegung und Horner+P/Q
5) Ableiten [mm] f(x)=x^3-2x^2-5x+6
[/mm]
f´(x)= [mm] 3x^2-4x-5
[/mm]
f´´(x)=6x-4
f´´´(x)=6
6) Diffinitionslücke (nicht vorhanden da ganzrationale Funktion)
7) Höchster Exponent gerade positiv x-> [mm] -\infty
[/mm]
8) Tja mit 8 verzweifel ich und werde langsam aber sicher auf mich selbst sauer (NICHT AUF EUCH!)
HP und TP= 1 Ableitung =0 , 2 Ableitung [mm] \not=0
[/mm]
Wp= 2 Ableitung =0, 3 Ableitung [mm] \not=0
[/mm]
SP= 2 Ableitung =0, 3 Ableitung =0
Und wo muss ich wann, welche errechneten 0-Stellen einsetzen ??!!??!!??*heul.... Oder Grundsätzlich die 3 Nullstellen der Funktion in alles einsetzen?
Steffi sagte x1=-2, x2=1, x3=3 (ich gehe davon aus das es was mit der größe der nullstellen zutun hat wie sie geordnet werden. (ich dachte da ich x=1 als erstes rausfand über Horner-Schema und die anderen beiden über P/Q Formel das das eine gewisse Ordnung wäre nach zeitlicher Abfolge...war wohl falsch)
Ach und was ich nicht verstehe ist der Ausdruck der [mm] \wurzel{19} [/mm] (Ich würde es halt der Reihe nach ausrechnen bis ich einen fertigen Wert habe egal wieviele Kommastellen
Schaut das mal bitte durch ob es bis auf die 8 soweit nun stimmt. (wie gesagt habe das draußen gemacht also nicht am PC! Ich habe es weder verglichen noch geändert.
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Hallo
1) korrekt
2) "Definitionsbereich nicht erforderlich", die Funktion hat einen Definitionsbereich [mm] x\in\IR
[/mm]
3) korrekt
4) korrekt
5) korrekt
6) korrekt
7) der größte Exponent ist 3, eine ungerade Zahl
8) sortieren wir noch einmal
8.1.) Nullstellen der Funktion f(x) sind -2: 1 und 3, du kannst natürlich auch sagen 1: -2 und 3, es ist nicht zwingend erforderlich, zu ordnen,
8.2.) Nullstellen der 1. Ableitung sind [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19} [/mm] und [mm] \bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19}, [/mm] deine Kandidaten für Extremstellen, [mm] \wurzel{19} [/mm] kannst du so stehen lassen, möchtest du die Funktion zeichnen, dann kannst du mit gerundeten Werten arbeiten
8.3.) Wendepunkt(e) der Funktion ist [mm] x=\bruch{2}{3}, [/mm] setze die 2. Ableitung gleich Null
0=6x-4, die 3. Ableitung ist 6, also ungleich Null
deine Bedingungen für HP und TP solltest du noch angeben, bei einem HP ist die 2. Ableitung kleiner Null, bei einem TP ist die 2. Ableitung größer Null
so jetzt zu "Und wo muss ich wann, welche errechneten 0-Stellen einsetzen ??!!??!!??*heul.... Oder Grundsätzlich die 3 Nullstellen der Funktion in alles einsetzen? "
ich glaube du hast noch Probleme mit "Stelle" und "Punkt",
Punkte sind z.B. (3:3) oder (-1;5) ..... du hast immer zwei Koordinaten
Stellen-zeichne dir mal eine Parallele zur y-Achse durch x=6, alle Punkte, die auf dieser Geraden liegen, liegen an der Stelle x=6, das kann z.B. sein (6:4) (6;-0,5) (6;245) ....
zurüch zu den Extremstellen, dir ist bis jetzt nur bekannt, an welchen Stellen sie liegen
[mm] x_1=\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19}\approx2,1196
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19}\approx-0,7863
[/mm]
damit hast du doch nur die Information die Extremstelle [mm] x_1 [/mm] liegt auf einer Parallelen zur y-Achse durch [mm] x\approx2,1196, [/mm] die Extremstelle [mm] x_2 [/mm] liegt auf einer Parallelen zur y-Achse durch [mm] x\approx-0,7863, [/mm] dir ist es also nicht möglich die konkreten Punkte (bestehend aus 2 Koordinaten) anzugeben, um die zu berechnen sind [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\wurzel{19} [/mm] und [mm] \bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\wurzel{19} [/mm] in die Funktion einzusetzen, also in [mm] x^{3}-2x^{2}-5x+6
[/mm]
mit gerundeten Werten:
[mm] 2,1196^{3}-2*2,1196^{2}-5*2,1196+6=-4,06
[/mm]
jetzt hast du den Punkt (2,1196; -4,06) den du einzeichnen kannst, dein Tiefpunkt
ebenso für den Hochpunkt (-0,7863; 8,21)
jetzt zeichne auf der x-Achse -2, 1, und 3 ein, sowie die Punkte (2,1196; -4,06) und (-0,7863; 8,21)
Viel Erfolg beim Durcharbeiten
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Gut fasse ich deins nochmal zusammen :)
zu 2)
[mm] x\in\IR [/mm] sagt das nicht aus alle reellen Zahlen ?
zu 7) hab ich natürlich gepennt :( hatte fest im Kopf das die Funktion [mm] x^4 [/mm] war keine Ahnung wieso (also behaupte ich nun
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x)= [mm] -\infty [/mm] )
8.1)ok
8.2)Also 2 Ableitung = 0 Setzen und Ausrechnen der Wert muss [mm] \not=0 [/mm] sein für WP und 3 Ableitung [mm] \not=0 [/mm] Hatte ich sogar getan, jedoch fragte ich mich dann was ich mit den 2/3 tun solle.
(Vermutung Wenn nun 2 Ableitung=0 und 3te Ableitung =0 dann Sattelpunkt? Im Moment nicht wichtig nur halte ich es für logisch alle Ableitungsregeln zu kennen.
Zu den Nullstellen also um herauszubekommen auf welchem x Abschnitt die Koordinaten liegen muss ich 1 Ableitung =0 setzen und Nullstellen errechnen in diesem fall P/Q Formel (Habe gesehen das die Punkte in etwa dort liegen habe mir den Graph zeichnen lassen mit eurem Free-Plott-Prog)
OK NOCHMAL Logisch in Reihe gebracht:
Funktion = Nullstellen errechnen. (a)
1 Ableitung Nullstellen errechnen. (b)
Funktion (a) einsetzen (WP Y Koordinaten)
2 Ableitung (a) einsetzen (<0=HP;>0=TP)
2 Ableitung (b) einsetzen (WP X Koordinaten)
2 Ableitung = 0 (WendePunkt [mm] \not=0 [/mm] !)
3 Ableitung prüfen ob =0 oder [mm] \not=0 [/mm] (WP und SP)
Wenn das so nun endlich Stimmen sollte werde ich nochmal komplett alles berechnen damit es in einer Antwort zusammen ersichtlich ist und bitte um eine weitere Aufgabe auf dem gleichen Prinzip basierend damit ich diese Ebenfalls nochmal prüfen (Analysieren kann) und hier zur Überprüfung vorlegen :)
Bis zu dieser Stelle möchte ich wirklich nochmals allen Danken die mir bis hier geholfen haben, denn ohne euch wäre ich definitiv ganz ganz weit von dem wo ich jetzt schon bin. ( ich weiss mir fehlt noch extrem viel habe die Altabiaufgaben gesehen aus Hessen und die Augen verdreht!
Und besonders an Steffi21 Du bist meine Beste :) DANNKKKEEEEEEE !!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Amenox |
Sollte doch eine Frage sein habe nur leider den Knopf zu drücken vergessen um es zu ändern ;(
(Also bitte ich in aller Form um Stellungnahme zu meiner letzten Mitteilung)
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Hallo
2) so ist es
7) für x gegen unendlich geht die Funktion gegen unenedlich, füt x gegen - unendlich geht die Funktion gegen - unendlich
8.2.) an der Stelle [mm] \bruch{2}{3} [/mm] liegt der Wendepunkt, jetzt kannst du [mm] \bruch{2}{3} [/mm] in die Funktionsgleichung einsetzen, du bekommst dann den Punkt
wenn a die Nullstellen deiner Funktion ist (sind), die y-Koordinate der Nullstelle(n) der Funktion ist IMMER 0
Steffi
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Im Moment nicht wichtig nur halte ich es für
