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| Aufgabe | Lösen sie das folgende Anfangswertproblem durch Trennung der Variablen:
b)
x(x+1)y'=y y(1)=1/2 |
Kann mir bitte jemand helfen bei der Aufgabe?
Ich habe sie soweit aufgelöst (falls das so überhaupt richtig ist):
[mm] -y'+(y/x^2+x)=0
[/mm]
[mm] y'=(y/x^2+x)
[/mm]
[mm] dy/y=dx/x^2+x
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wie geht es dann weiter? Ich kenne das Integral
von [mm] 1/x^2+x [/mm] nicht!
Bitte um Hilfe!
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du hast völli falsch nach y' aufgelöst. Richtig müsste es lauten (ich habe die Variablen gleich getrennt):
[mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x*(x+1)}
[/mm]
Die linke Seite dürfte dabei kein Problem sein. Rechts würde ich eine Partialbruchzerlegung durchführen und anschließend integrieren.
Gruß, Diophant
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Ich habe versucht die Gleichung auf die Form:
y'+f(x)*y=0 zu bringen.
Dann wäre die Lösung:
[mm] y=C*e^\-integral_{f(x) dx}
[/mm]
Gut dann werde ich es mal mit Partialbruchzerlegung versuchen!
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Hallo, ist zwar schon etwas spät (oder früh) aber ich bin da zufällig mal drüber geflogen und hab mir das ganz einfach mal überlegt:
Deine Gleichung:
$x(x+1)y'=y $
Kann man wie folgt anschreiben:
[mm]x(x+1)\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x} =y(x)[/mm]
was gleichbedeutend ist mit:
[mm]\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x} =\frac{y(x)}{(x^{2}+x)}[/mm]
anschließend habe ich beide Seiten durch [mm]y(x)[/mm] dividiert und beide Seiten als Integral nach [mm]dx[/mm] angeschrieben:
[mm]\int \frac{\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}}{ y(x)}dx =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx[/mm]
integriert ergibt das ganze ja:
[mm]ln(y(x))=ln(x)-ln(x+1)+C[/mm]
aufgelöst nach [mm]y(x)[/mm] folgt (wenn man logarithmusregeln beachtet):
[mm]y(x)=\frac{e^{C}x}{x+1}[/mm]
da C ja eine Konstante ist könnte man auch einfacher schreiben:
[mm]y(x)=\frac{C'x}{x+1}[/mm]
(C' ist die neue Konstante und nicht die Ableitung)
Hoffe das war wonach du gesucht hast ;)
LG und Gute Nacht,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:37 Do 05.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Hallo, ist zwar schon etwas spät (oder früh) aber ich bin
> da zufällig mal drüber geflogen und hab mir das ganz
> einfach mal überlegt:
>
> Deine Gleichung:
>
> [mm]x(x+1)y'=y [/mm]
>
> Kann man wie folgt anschreiben:
>
> [mm]x(x+1)\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x} =y(x)[/mm]
>
> was gleichbedeutend ist mit:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x} =\frac{y(x)}{(x^{2}+x)}[/mm]
>
> anschließend habe ich beide Seiten durch [mm]y(x)[/mm] dividiert
> und beide Seiten als Integral nach [mm]dx[/mm] angeschrieben:
>
> [mm]\int \frac{\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}}{ y(x)}dx =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx[/mm]
>
>
> integriert ergibt das ganze ja:
>
> [mm]ln(y(x))=ln(x)-ln(x+1)+C[/mm]
>
> aufgelöst nach [mm]y(x)[/mm] folgt (wenn man logarithmusregeln
> beachtet):
>
> [mm]y(x)=\frac{e^{C}x}{x+1}[/mm]
>
> da C ja eine Konstante ist könnte man auch einfacher
> schreiben:
>
> [mm]y(x)=\frac{Cx}{x+1}[/mm]
>
>
> Hoffe das war wonach du gesucht hast ;)
>
> LG und Gute Nacht,
> Scherzkrapferl
Identisch mit dem von Diophant - nur umständlicher und verwirrender. ;)
Trennung der Variablen ist ja mit einer der elementarsten Lösungsmethoden. Bei dir sieht es nach einem gigantischen Kraftakt aus. ;)
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Hallo,
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> Identisch mit dem von Diophant
jein.. diophat hat nur den "ansatz" hingeschrieben, ich habe die rechnung gezeigt wie sie meistens verlangt wird bei prüfungen.
> - nur umständlicher und
> verwirrender. ;)
warum denn das ? da y von x abhängt ist die notation sogar sinnvoll für leute die probleme mit diff.gleichungen haben.
würde keinen einfacheren weg kennen um auf die lösung zu kommen für dieses bsp.
> Trennung der Variablen ist ja mit einer der elementarsten
> Lösungsmethoden. Bei dir sieht es nach einem gigantischen
> Kraftakt aus. ;)
Sicher, aber bitte sag mir was daran ein gigantischer kraftakt ist ? habe nicht mal 2 minunten zum berechnen gebraucht. noch dazu kann man das ganze ohne diese rechenschritten machen. ich habe aber möglichst alle schritte aufgeschrieben, damit der fragensteller auch nachvollziehen kann, wie man auf die lösung kommt, bzw damit sich weniger fehler einschleichen.
es hätte grundsätzlich auch gereicht, wenn ich geschrieben hätte:
$ [mm] \frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x} =\frac{y(x)}{(x^{2}+x)} [/mm] $
führt zu
$ ln(y(x))=ln(x)-ln(x+1)+C $
und somit zu
$ [mm] y(x)=\frac{Cx}{x+1} [/mm] $
das waren die rechenschritte die ich gemacht habe bevor ich alles etwas länger aufgeschrieben habe ;) nur dass ich hierbei einige rechenschritte ausgelassen habe, was zur verwirrung führen könnte.
wenn das für dich kompliziert oder anstrengend aussieht bin ich leider etwas verwirrt, sag lieber mal wie viel schneller du das rechnen kannst, bzw zeig generell wie du es machen würdest anstatt nur zu kommentieren was nicht alles schlecht ist ;) (der lösungsweg wird sicherlich der gleiche sein)
Sorry aber ich kann nicht nachvollziehen wieso du diese Mitteilung geschrieben hast (nichts gegen dich persönlich). aber es kommt sehr arrogant rüber (bzw. ist dir offensichtlich nicht klar, dass mir klar ist das es 1:1 der weg von diophat sein wird - nur gelöst) und auch etwas "besserwisserisch" ohne zu zeigen was du für "richtiger"/"besser" hältst.
in diesem Sinne...
Liebe Grüße,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Do 05.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo scherzkrapferl,
nichts für ungut: aber deine Reaktion ist völlig überzogen. Ganz nebenbei gesagt kann es nämlich nicht Sinn und Zweck eines Matheforums sein, fertige Lösungen zu geben. Zumindest nicht, wenn man möglichst viele Beteiligte im Boot haben möchte.
In diesem Sinne: denke mal darüber nach, ob man
a) eine Kritik nicht sachlicher formulieren könnte
b) oder ob ein Forum, welches für alle an einem Fach Interssierten attraktiv ist einem solchen Forum vorziehen sollte, bei dem es Leuten, die aus persönlichen Motiven Hilfestellung lesiten möchten, graust, so dass sie gar nicht erst mitmachen?
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hallo scherzkrapferl,
>
> nichts für ungut: aber deine Reaktion ist völlig
> überzogen.
Ich fand die Mitteilung von Richie1401 überzogen ;) hat ja weder was zur beantwortung der Frage, noch als Zusatzinfo gedient. Eher kam es so rüber als würde Richie1401 es besser wissen - deshalb habe ich ihn ja auch gebeten es auf seine Art zu zeigen und nicht nur zu kritisieren. (ich hätte völlig anders reagiert, wenn er mir einfach seinen Rechenweg gezeigt hätte (sofern dieser durchgeführt wurde))
> Ganz nebenbei gesagt kann es nämlich nicht
> Sinn und Zweck eines Matheforums sein, fertige Lösungen zu
> geben. Zumindest nicht, wenn man möglichst viele
> Beteiligte im Boot haben möchte.
Da bin ich nicht ganz deiner Meinung.
Grundsätzlich hast du natürlich recht, da Dinge die man selbst erarbeitet besser im Gedächtnis bleiben.
Jedoch ist manchen Fragenstellern (weiß ich aus persönlicher Erfahrung) nicht mal das Konzept klar, über welches gesprochen wird. Deshalb macht es meiner Meinung nach manchmal Sinn, dem Fragensteller zu zeigen wie man eine solche Aufgabe löst (dieses Beispiel ist ja noch dazu sehr anschaulich um das Konzept zu erklären), bevor man stundenlang hin und her schreiben muss und am Ende zu dem Schluss kommt, dass der Fragensteller eigentlich noch nie eine Diff.gl. (oder sonstiges) gerechnet/gelöst hat.
>
> In diesem Sinne: denke mal darüber nach, ob man
>
> a) eine Kritik nicht sachlicher formulieren könnte
was genau bezeichnest du als unsachlich an meiner Kritik ? Konkret werden bitte.
Ich habe sogar extra nachgeragt, ob es eine bessere Methode gibt.
Sprich, ich bin offen für bessere Lösungsvorschläge und auch sehr interessert daran.
> b) oder ob ein Forum, welches für alle an einem Fach
> Interssierten attraktiv ist einem solchen Forum vorziehen
> sollte, bei dem es Leuten, die aus persönlichen Motiven
> Hilfestellung lesiten möchten, graust, so dass sie gar
> nicht erst mitmachen?
Dem Satz kann ich leider nicht ganz Folgen. Könntest du ihn vielleicht etwas klarer formulieren, damit es nicht zu Missverständnissen kommt ?
Ich habe ehrlich gesagt die Mitteilung von Richie1401 so empfunden, dass Kritik geübt wird, aber eigentlich nicht gesagt wird, was besser zu machen wäre/könnte oder was genau daran so kompliziert oder ein Kraftakt sei.
Solche Kritik bringt doch niemanden weiter ?! Habe ja (bis jetzt) keine Antwort bekommen auf was Richie1401 eigentlich hinaus wollte.
Findest du persönlich meine Rechenschritte/Konzept verwirrend oder empfindest du sie als Kraftakt? Das interessiert mich in Wahrheit viel mehr, da ich sicherlich noch viel von dir lernen kann und auch dazu bereit bin.
Nur Kritik ohne konkret zu werden bringt weder mich noch sonst jemanden weiter.
>
> Gruß, Diophant
Beste Grüße,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 05.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Ok, da melde ich mich auch mal dazu.
Hallo Scherzkrapferl,
ich wollte dich weder rügen noch berichtigen. Sorry, wenn das so rüberkam.
Was ich sagen wollte ist schlicht und einfach: Diophant hatte dasselbe Verfahren. Er hat nur x(x+1) dividiert und dann folgt daraus eigentlich unmittelbar die Trennung der Variablen.
Selbiges hast du quasi auch geschrieben - daher keine Ahnung, warum der Post erstellt wurde? (letztlich kommt es zur Integration - das wird man hinbekommen)
"und beide Seiten als Integral nach $ dx $ angeschrieben:
$ [mm] \int \frac{\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}}{ y(x)}dx =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx [/mm] $"
Warum?
Generell doch (ganz einfach gesagt): Alles mit x auf die eine Seite, alles mit y auf die andere. Einfach Integralzeichen davorsetzen.
Genau deswegen schrieb ich von einem "Kraftakt".
Wie auch immer - das sollte keine aggressive Antwort sein - aber wenn du dem Fragesteller so viel Unterstützung bietest und eventuelles Unwissen vorgibst ("unterstellst"), dann kann man ja auch ruhig sagen, dass beide Lösungswege auf exakt dasselbe hinauslaufen. Nur um die eventuelle Verwirrung zu mindern.
Also Frieden?
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Hallo,
> Ok, da melde ich mich auch mal dazu.
>
> Hallo Scherzkrapferl,
>
> ich wollte dich weder rügen noch berichtigen. Sorry, wenn
> das so rüberkam.
> Was ich sagen wollte ist schlicht und einfach: Diophant
> hatte dasselbe Verfahren.
hier ne anmerkung die erst nachher zu lesen ist: wie unten erwähnt - wieso kommst du dann auf den Gedanken, dass es sich dabei um einen 2. Lösungsweg handelt, wenn du hier schon zugibst dass es das selbe sein sollte ?
> Er hat nur x(x+1) dividiert und
> dann folgt daraus eigentlich unmittelbar die Trennung der
> Variablen.
> Selbiges hast du quasi auch geschrieben - daher keine
> Ahnung, warum der Post erstellt wurde? (letztlich kommt es
> zur Integration - das wird man hinbekommen)
Keine Sorge das ist mir bewusst, ich wollte es dem Fragensteller nur vorführen wie eine solche Rechnung in Österreich bei der Prüfung verlangt wird.
>
> "und beide Seiten als Integral nach [mm]dx[/mm] angeschrieben:
>
> [mm]\int \frac{\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}}{ y(x)}dx =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx [/mm]"
>
> Warum?
wie kommst du denn sonst so einfach auf die Integralform ?
[mm]\int \frac{\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}}{ y(x)}dx =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx [/mm]
[mm]\int \frac{\mathrm{d} y(x)}{ y(x)} =\int \frac{1}{(x^{2}+x)}dx [/mm]
das ist genau das (laut meinem Prof.) was du tust (auch wenn oft nicht angeschrieben, bzw fast nie angeschrieben) um ein Integralzeichen davor zu setzten.
was genau das ist wovon du anschließend sprichst:
>
> Generell doch (ganz einfach gesagt): Alles mit x auf die
> eine Seite, alles mit y auf die andere. Einfach
> Integralzeichen davorsetzen.
genau das habe ich demnach getan.
>
> Genau deswegen schrieb ich von einem "Kraftakt".
? Ist mir leider immer noch nicht ganz klar was du damit meinst. Wie ich notiere ist ja mir selbst überlassen, bzw. behaupte ich, dass die Notation sehr aussagekräftig ist, einerseits dass y von x abhängt. und dass y' nichts anderes ist wie [mm]\frac{d y(x)}{d x}[/mm]
das sie nicht nötig ist (da sich dx auf der linken Seite rauskürzt), aber dennoch hilfreich (zum verständnis, warum das Integral plötzlich auf die letzte Form ohne dx auf der linken Seite "auftaucht") wirst du glaube ich, genauso wenig wie ich, auch nicht bestreiten können.
Habe mir bei meiner Antwort ja etwas gedacht.
>
> Wie auch immer - das sollte keine aggressive Antwort sein -
> aber wenn du dem Fragesteller so viel Unterstützung
> bietest und eventuelles Unwissen vorgibst ("unterstellst"),
> dann kann man ja auch ruhig sagen, dass beide Lösungswege
> auf exakt dasselbe hinauslaufen. Nur um die eventuelle
> Verwirrung zu mindern.
1. habe ich kein Unwissen unterstellt, ich habe nur angenommen dass der Fragensteller noch nicht all zu viele Diff.gl. gelöst hat, sonst wäre diese Aufgabe vermutlich kein Problem gewesen. Deshalb habe ich versucht möglichst ausführlich zusammen zu fassen, was zu tun ist.
2. wieso glaubst du dass es sich dabei um 2 verschiedene Lösungswege handelt ? Das habe ich ja nie behauptet.
>
> Also Frieden?
Gab es Krieg ?
Ich habe nicht versucht dich in irgendeiner Weise persönlich zu beleidigen oder ähnliches. Würde es auch nie wollen! Tut mir leid wenn es so rüber gekommen ist. Man merkt hier den Sprachunterschied zwischen Österreich und Detschland eindeutig.
Ich fand es nur etwas unpassend, da du nicht mal konkret wurdest. Deshalb habe ich nach deiner Lösungsmethode gefragt, die du im übrigen nicht preis gibst.
Liebe Grüße,
Scherzkrapferl
PS: damit es nicht wieder zu Unnötigen missverständnissen kommt: dieser Beitag ist absolut nich abwertend dir gegenüber, noch beleidigend gemeint oder sonst etwas in diese Richtig - damit das bitte klargestellt ist (auch an Diophat gerichtet, der mich offensichtlich komplett falsch eingeschätzt hat).
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Missverständnis geklärt.
LG Scherzkrapferl
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