Gewichtsfaktor Rechteckvert. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unter der Annahme, dass sich alle Messwerte in einem Intervall der Breite $2a$ befinden und dieses symmetrisch um den Mittelwert [mm] $x_0$ [/mm] einer Messung ist, ergeben sich die Intervallgrenzen [mm] $x_0 [/mm] -a$ und [mm] $a_0+a$. [/mm] Die Dichtefunktion, welche die normierte Fl"ache $A=1$ haben soll [mm] \footnote{Die Fl"ache 1 entspricht einer kumulierten Wahrscheinlichkeit von 100\%}ist [/mm] demnach wie folgt definiert:
[mm] \rho(x)&=\begin{cases}
\frac{1}{2a}& \text{ f"ur } x_0-a\le x\le x_0+a\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
[/mm]
Der Erwartungswert der Messung l"asst mit Hilfe der Dichteverteilung wie folgt bestimmen:
[mm] \[
[/mm]
[mm] E(x)=\mu(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot \rho(x)\cdot dx=\int\limits_{x_0-a}^{x_0+a} \frac{x}{2a}\cdot dx=x_0,
[/mm]
[mm] \]
[/mm]
daraus wird deutlich, dass der Erwartungswert dem Mittelwert des Intervalls entspricht. Mit den bisherigen Berechnungen l"asst sich nun der Gewichtsfaktor $G$ bestimmen, welcher anzusetzen ist, um in der Messunsicherheitsbilanz eine Messgröße so zu normieren, als würde man von einer Einflußgröße mit Normalverteilung ausgehen. Dieser Gewichtsfaktor entspricht der Varianz der Rechteckverteilung und lässt sich folgendermaßen bestimmen:
[mm] \begin{equation*}
\begin{split}
\sigma^2 =E(x^2)-(E(x))^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot \rho(x)\cdot dx-\mu^2\\
=\int\limits_{x_0-a}^{x_0+a} x^2\cdot\frac{1}{2a}\cdot dx-x_0^2\\
=\frac{1}{3}a^2\hspace{2.8cm}
\end{split}
\end{equation*}
[/mm]
mit [mm] $\sigma^2$ [/mm] als Varianz, [mm] $\rho(x)$ [/mm] als Dichtefunktion und [mm] $\mu$ [/mm] als Erwartungswert. Zur Bestimmung des Gewichtsfaktors wird die Verteilung über die x-Achse auf a=1 normiert und die Standardabweichung bestimmt, sodass der Gewichtsfaktor der Rechteckverteilung [mm] \[\sigma=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.58\] [/mm] ist.
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Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich derzeit mit verschiedenen Verteilungen und deren Gewichtsfaktoren. Nun stoße ich immer wieder auf die Normierung über die x-Achse - leider finde ich dazu nie eine Rechenvorschrift. Weiß jemand wie das geht? z.B. zu obiger Aufgabenstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 07.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Hallo zusammen!
> Ich beschäftige mich derzeit mit verschiedenen
> Verteilungen und deren Gewichtsfaktoren. Nun stoße ich
> immer wieder auf die Normierung über die x-Achse - leider
> finde ich dazu nie eine Rechenvorschrift. Weiß jemand wie
> das geht? z.B. zu obiger Aufgabenstellung.
Waehle den Gewichtungsfaktor so, dass gilt
[mm] $\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx=1$.
[/mm]
vg Luis
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Sorry, das hab ich jetzt noch nicht so ganz verstanden, was hab ich da jetzt falsch gemacht?
[mm] \int_{x_0-a}^{x_0+a} \frac{1}{2a}dx=1
[/mm]
[mm] \rightarrow \left[\frac{1}{2a} x\right]_{x_0-a}^{x_0+a} =\frac{1}{2a}\cdot (x_0+a)-\frac{1}{2a}\cdot (x_0-a)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Di 07.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Du hast nichts falsch gemacht. Du fragtest nach einer "Rechenvorschrift", und die lautet
$ [mm] \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx=1 [/mm] $.
Und die hast du benutzt.
vg Luis
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