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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Di 15.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
| Aufgabe | | Es wird das folgende Spiel gespielt. In einer urne befinden sich 5 organgene und 20 blaue Kugeln. Eine SpielerIn zieht aus der Urne eine Kugel. Wenn diese Kugel blau ist, so hat der/die SpielerIn verloren, und legt die Kugel zurück. Ist die Kugel hingegen orange, so legt er/sie die Kugel zurück, und darf noch einmal ziehen (nach dem Ziehen wird die Kugel stets zurückgelegt), und zwar so lange, bis zum ersten Mal eine blaue Kugel gezogen wird. Wurde dabei n mal eine orangene Kugel gezogen, und beim (n+1)-ten Mal eine blaue Kugel gezogen, so wird dem/der SpielerIn ein Gewinn von [mm] 3^n [/mm] ausbezahlt. Berechne den zu erwartenden Gewinn des/der Spielers/Spielerin. |
Naja, ich weiß nicht so recht wie das geht und hab mir folgendes überlegt:
Ich berechne zuerst wie oft man im Durchschnitt ziehen muss bis blau kommt:
4/5 + (1/5)*(4/5)*2 + [mm] (1/5)^2 [/mm] * (4/5)*3 + [mm] (1/5)^3 [/mm] *(4/5)*4 + ... =
(4/5)*(1 + (1/5) + [mm] (1/5)^2 [/mm] + [mm] (1/5)^3 [/mm] +... ) =
[mm] (4/5)*(1/(1-(1/5))^2) [/mm] = 1,25
=> n+1=1,25 => n= 0,25
[mm] 3^0,25 [/mm] = 1,3160... ~ 1,32
Der zu erwartende Gewinn wäre somit 1,32.
Stimmt das so, oder geht das anders???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kathi
Ich denke, dass deine Idee so nicht zum Ziel führt. Man müsste wohl für die verschiedenen Möglichkeiten, die zu einem Gewinn führen, die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen und mit den entsprechenden Gewinnen multiplizieren. Aufaddiert ergeben diese Produkte den zu erwartenden Gewinn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 15.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
Das wäre dann also:
[mm] (4/3)*3^0 [/mm] + [mm] (1/5)*(4/3)*3^1 [/mm] + [mm] (1/5)^2*(4/3)*3^2 [/mm] + [mm] (1/5)^3*(4/3)*3^3 [/mm] + ... =
(4/3)*[1+ (1/5)*3 + [mm] (1/5)^2*3^2 [/mm] + [mm] (1/5)^3*3^3 [/mm] +...]=
(4/3)*[1+ (3/5) + [mm] (3/5)^2 [/mm] + [mm] (3/5)^3 [/mm] + ... =
2
Somit wäre der erwartende Gewinn 2.
Hab ich das richtig verstanden?
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> Das wäre dann also:
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> [mm](4/3)*3^0[/mm] + [mm](1/5)*(4/3)*3^1[/mm] + [mm](1/5)^2*(4/3)*3^2[/mm] +
> [mm](1/5)^3*(4/3)*3^3[/mm] + ... =
> (4/3)*[1+ (1/5)*3 + [mm](1/5)^2*3^2[/mm] + [mm](1/5)^3*3^3[/mm] +...]=
> (4/3)*[1+ (3/5) + [mm](3/5)^2[/mm] + [mm](3/5)^3[/mm] + ... =
> 2
>
> Somit wäre der erwartende Gewinn 2.
>
> Hab ich das richtig verstanden?
Ist das obige korrekt geschrieben? Woher kommen die Drittel-Brüche?
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, so gibt es gar keinen Gewinn, wenn ich im ersten Zug schon eine blaue Kugel erwische.
In allen anderen Fällen gibt es einen Gewinn. Die Anzahl der orangefarbenen Kugeln vor der ersten blauen sei n.
Dieser Fall (zuerst n orange Kugeln, dann eine blaue) hat die Wahrscheinlichkeit
[mm] p \sub{n} = 0.2^n \times 0.8 [/mm]
Der entsprechende Gewinn ist [mm] g\sub{n} = 3^n [/mm] Euro.
Der Erwartungswert des Gewinns für das (potentiell unendlich währende) Spiel ergibt sich dann zu
[mm] G = \summe_{n=1}^{\infty} {pn*gn} [/mm]
lg Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 15.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
Vielen lieben Dank!!!
Ich habe mich leider verschrieben, die Drittel sind natürlich Blödsinn, das hätten ebenfalls Fünftel sein sollen, tut mir leid.
Du hast wahrscheinlich recht, wenn er beim ersten Zug bereits blau zieht, wird er verloren haben und nichts bekommen, außerdem wird gemeint sein [mm] n\in\IN\{0} [/mm] (n aus den nat Zahlen ohne der Null, das mit den Zeichen funktioniert hier glaub ich nicht so gut?)...
Aber sonst war es wie mir scheint e das gleiche wie du geschrieben hast...
Nochmals vielen lieben Dank!!!!!!!!
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Sind wir uns einig, dass das Schlussergebnis 1.2 Euro ist?
(eigentlich eine miese Perspektive nach der Rechnerei...)
Gruss Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Mi 16.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
Danke ja, wir sind uns einig... Dabei wären 2 doch viel schöner gewesen 
Naja, danke jedenfalls...
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