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Hallo,
wir haben zurzeit das Thema Lineare Algebra und ich habe noch gewisse Lücken.
1. Wenn ich einen Vektor habe, weiß ich nicht, wie ich die Dimension rauskriegen soll. Ich weiß, wie eine Dimension definiert ist .
"Ist [mm] (b_1,b_2,...,b_n) [/mm] eine Basis des Vektorraums V, so ist n die Dimension von V". Okay, trotzdem kann ich diesen Satz irgendwie nicht anwenden.
2. Folgende Vektoren:
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 2}, \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm]
Wie überführe ich das in eine Matrix ? Zeilenweise ? Also:
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6}
[/mm]
Ist das richtig ? Problem hierbei ist, dass ich nicht weiß, wie man das in eine Matrix überführt. Zeilenweise, Spaltenweise ??
Wie kann ich aus der Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6} [/mm] rausfinden, ob sie ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. Den Rang finde ich mit dem Gaußverfahren raus(Dreiecksform). Bedeutet voller Rang(in diesem Fall 3) = linear unabhängig ? Was ist da linear unabhängig. Die ganzen Vektoren, oder jeder Vektor ?
3. Wie prüfe ich ob zb [mm] \vektor{6 \\ 7} [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ 0} [/mm] eine Basis bilden?
Ich würde mich freuen, wenn mir diese Fragen anhand eines kurzen Beispiels(insbesondere Dimension) erklärt wird.
Vielen Dank im Voraus.
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Guten Abend
> 1. Wenn ich einen Vektor habe, weiß ich nicht, wie ich die
> Dimension rauskriegen soll. Ich weiß, wie eine Dimension
> definiert ist .
> "Ist [mm](b_1,b_2,...,b_n)[/mm] eine Basis des Vektorraums V, so
> ist n die Dimension von V". Okay, trotzdem kann ich diesen
> Satz irgendwie nicht anwenden.
>
> 2. Folgende Vektoren:
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] , [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ 2}, \vektor{4 \\ 5 \\ 6}[/mm]
> Wie überführe ich das in eine Matrix ? Zeilenweise ?
> Also:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6}[/mm]
Damit hast du die 3 gegebenen Vektoren zu einer Matrix
zusammengefügt, deren Spaltenvektoren die einzelnen
Vektoren sind.
> Ist das richtig ?
Ja. Wenn man will (und es klar macht), kann man aber auch
Zeilenvektoren untereinander setzen und das Ganze dann
als Matrix betrachten.
> Wie kann ich aus der Matrix
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6}[/mm] rausfinden, ob
> sie ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
Nicht diese Matrix, sondern ihre Spaltenvektoren (also die 3
gegebenen Vektoren) könnten zusammen allenfalls ein
Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] bilden, nämlich dann, wenn
sie ein linear unabhängiges System bilden.
> Den Rang finde
> ich mit dem Gaußverfahren raus(Dreiecksform). Bedeutet
> voller Rang(in diesem Fall 3) = linear unabhängig ?
Ja.
> Was ist da linear unabhängig. Die ganzen Vektoren, oder jeder
> Vektor ?
Es geht darum, ob sie miteinander ein unabhängiges
System bilden.
Tatsächlich sind aber die obigen 3 Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] nicht
linear unabhängig. Der Rang der Matrix ist nicht 3 , sondern nur 2.
Dies bedeutet, dass der von ihnen aufgespannte (erzeugte)
Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] nicht der ganze 3D-Raum ist, sondern
nur ein 2D-Unterraum davon (den man sich grafisch als eine
im [mm] \IR^3 [/mm] liegende (und durch O(0,0,0) gehende) Ebene
vorstellen kann.
> 3. Wie prüfe ich ob zb [mm]\vektor{6 \\ 7}[/mm] , [mm]\vektor{4 \\ 0}[/mm]
> eine Basis bilden?
Dies sind nur 2 Vektoren im Raum [mm] \IR^2 [/mm] . Sie sind linear
unabhängig, falls keiner der beiden als ein Vielfaches des
anderen geschrieben werden kann, bzw. falls die Gleichung
$\ [mm] r*\vektor{6 \\ 7}\ [/mm] =\ [mm] s*\vektor{4 \\ 0}$
[/mm]
nur durch die Wahl r=0 und s=0 zu erfüllen ist. So ist
es in diesem Beispiel tatsächlich, d.h. dieses Paar von Vektoren
ist linear unabhängig. Man könnte sie als Basisvektoren
nehmen, um den reellen Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] aufzuspannen.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo nochmal,
vielen Dank erst einmal für die ganzen Antworten. Das hat mir geholfen.
Nur, eine Frage hätte ich noch; wieso ist der Rang 2 und nicht 3 ? Wie bist du auf die 2 gekommen. (evtl. ohne zu rechnen ? )
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> Nur, eine Frage hätte ich noch; wieso ist der Rang 2 und
> nicht 3 ? Wie bist du auf die 2 gekommen. (evtl. ohne zu
> rechnen ? )
Naja, gerechnet habe ich zwar nicht: ich war zu faul dazu
und habe die Matrix meinem CAS-Rechner gefüttert, der
feststellte, dass sie den Rang 2 hat ...
Du hast ja aber schon selber geschrieben, wie du den
Rang ermitteln würdest ...
LG , Al-Chw.
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