Gibt es eine reelle Zahl < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] eine offene Teilmenge und f: U -> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Seien [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{0}+h [/mm] zwei Punkte in U, so daß [mm] x_{0}+th \in [/mm] U für alle [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le1. [/mm]
Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl 0 [mm] \le \nu \le [/mm] 1, so daß gilt: [mm] f(x_{0}+h)-f(x_{0}) [/mm] = [mm] D_(x_{0}+\nu*h)*h [/mm] |
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich da anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei U [mm]\subset \IR^n[/mm] eine offene Teilmenge und f: U -> [mm]\IR[/mm]
> eine differenzierbare Funktion. Seien [mm]x_{0}[/mm] und [mm]x_{0}+h[/mm]
> zwei Punkte in U, so daß [mm]x_{0}+th \in[/mm] U für alle [mm]0\le[/mm] t
> [mm]\le1.[/mm]
> Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl 0 [mm]\le \nu \le[/mm] 1, so
> daß gilt: [mm]f(x_{0}+h)-f(x_{0})[/mm] = [mm]D_(x_{0}+\nu*h)*h[/mm]
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich da anfangen soll.
Für t [mm] \in [/mm] [0,1] setze
[mm] g(t):=f(x_0+th).
[/mm]
Dann ist [mm] f(x_0+h)-f(x_0)=g(1)-g(0)
[/mm]
Jetzt Mittelwertsatz.
FRED
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Hallo Fred,
also im Prinzip soll ich doch nur zeigen, dass es auf dem Graphen der Funktion mindestens einen Punkt [mm] f(x_{0}) [/mm] gibt. Auf dem Intervall [0,1], habe ich eine Sekante und parallel dazu auf dem Punkt [mm] f(x_{0}) [/mm] eine Tangente. D.h. der Anstieg von Sekante und Tangente ist in diesem Punkt gleich.
[mm] \frac{g(1)-g(0)}{1-0} [/mm] = [mm] \frac{g(1)-g(0)}{1} [/mm] = g(1)-g(0)= [mm] f(x_{0})+h [/mm] - [mm] f(x_{0})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> also im Prinzip soll ich doch nur zeigen, dass es auf dem
> Graphen der Funktion mindestens einen Punkt [mm]f(x_{0})[/mm] gibt.
Das ist doch kompletter Unsinn !!
Du sollst zeigen:
Es gibt eine reelle Zahl 0 $ [mm] \le \nu \le [/mm] $ 1, so daß gilt: $ [mm] f(x_{0}+h)-f(x_{0}) [/mm] $ = $ [mm] D_(x_{0}+\nu\cdot{}h)\cdot{}h [/mm] $
Wie Du das machen kannst , habe ich Dir gesagt: wende auf g den MWS an.
FRED
> Auf dem Intervall [0,1], habe ich eine Sekante und parallel
> dazu auf dem Punkt [mm]f(x_{0})[/mm] eine Tangente. D.h. der Anstieg
> von Sekante und Tangente ist in diesem Punkt gleich.
Was soll das Geschwafel ?
FRED
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> [mm]\frac{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm] = [mm]\frac{g(1)-g(0)}{1}[/mm] = g(1)-g(0)=
> [mm]f(x_{0})+h[/mm] - [mm]f(x_{0})[/mm]
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