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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:11 Do 22.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | L [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ein Gitter maximalen Rangs
[mm] \gdw \IR^{n}/L [/mm] kompakt in Quotiententopologie
[mm] \gdw \exists [/mm] beschränkte Menge B [mm] \subset \IR^{n} [/mm] s.d. L+B = [mm] \IR^{n} [/mm] |
Hallo!
Ich hab die erste Implikation glaube ich geschafft, mehr noch nicht...:
L = [mm] \IZ \omega_{1} [/mm] + ... + [mm] \IZ \omega_{n}. [/mm]
P:= [mm] {\lambda_{1}\omega_{1} + ...+ \lambda_{n}\omega_{n} | 0 \leq \lambda_{i} \leq 1}.
[/mm]
Man kann eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR^{n} [/mm] beschreiben, s.d. 2 Zahen x,x' aquivalent mod L sind [mm] \gdw [/mm] x-x' [mm] \in [/mm] L.
Die Menge der Äquivalenzklassen ist dann [mm] \IR^{n}/L.
[/mm]
Dann gibt es eine stetige Abb.: [mm] \pi: \IR^{n} \rightarrow \IR^{n}/L, [/mm] s.d x [mm] \mapsto [/mm] x+L.
Dann gibt es also für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] ein x' [mm] \in [/mm] P: x-x' [mm] \in [/mm] L.
[mm] \Rightarrow \pi(x) [/mm] = [mm] \pi(x')
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi [/mm] eingeschränkt auf P [mm] \rightarrow \IR^{n}/L [/mm] = [mm] \pi(P).
[/mm]
Da P kompakt ist, ist dann auch [mm] \IR^{n} [/mm] kompakt.
Für die nächste Implikation hatte ich gedacht die Definition der Kompaktheit zu benutzen, aber ich weiß nicht wie ich das umforme um auf die beschränkte Menge zu kommen.. [mm] \IR^{n}/L [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} U_{i}, [/mm] wobei die [mm] U_{i} [/mm] offene Mengen sind.
Wie kann ich von hier aus darauf kommen, dass [mm] \IR^{n} [/mm] = L+B ist?
Oder hilft mir weiter, dass L diskret ist?
Ist vielleicht ein anderer Beweisweg einfacher?
Ganz lg :)
Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 24.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> L [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein Gitter maximalen Rangs
> [mm]\gdw \IR^{n}/L[/mm] kompakt in Quotiententopologie
> [mm]\gdw \exists[/mm] beschränkte Menge B [mm]\subset \IR^{n}[/mm] s.d.
> L+B = [mm]\IR^{n}[/mm]
> Hallo!
> Ich hab die erste Implikation glaube ich geschafft, mehr
> noch nicht...:
> L = [mm]\IZ \omega_{1}[/mm] + ... + [mm]\IZ \omega_{n}.[/mm]
> P:= [mm]{\lambda_{1}\omega_{1} + ...+ \lambda_{n}\omega_{n} | 0 \leq \lambda_{i} \leq 1}.[/mm]
>
> Man kann eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IR^{n}[/mm] beschreiben,
> s.d. 2 Zahen x,x' aquivalent mod L sind [mm]\gdw[/mm] x-x' [mm]\in[/mm] L.
> Die Menge der Äquivalenzklassen ist dann [mm]\IR^{n}/L.[/mm]
> Dann gibt es eine stetige Abb.: [mm]\pi: \IR^{n} \rightarrow \IR^{n}/L,[/mm]
> s.d x [mm]\mapsto[/mm] x+L.
> Dann gibt es also für alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm] ein x' [mm]\in[/mm] P:
> x-x' [mm]\in[/mm] L.
> [mm]\Rightarrow \pi(x)[/mm] = [mm]\pi(x')[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pi[/mm] eingeschränkt auf P [mm]\rightarrow \IR^{n}/L[/mm]
> = [mm]\pi(P).[/mm]
> Da P kompakt ist, ist dann auch [mm]\IR^{n}[/mm] kompakt.
Genau.
> Für die nächste Implikation hatte ich gedacht die
> Definition der Kompaktheit zu benutzen, aber ich weiß
> nicht wie ich das umforme um auf die beschränkte Menge zu
> kommen.. [mm]\IR^{n}/L[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} U_{i},[/mm] wobei die
> [mm]U_{i}[/mm] offene Mengen sind.
> Wie kann ich von hier aus darauf kommen, dass [mm]\IR^{n}[/mm] =
> L+B ist?
Fuer $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] sei [mm] $B_x [/mm] := x + [mm] B_1(0)$ [/mm] (wobei [mm] $B_1(0)$ [/mm] der offene Einheitsball ist). Dann ist [mm] $\pi(B_x)$, [/mm] $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] eine offene Ueberdeckung von [mm] $\IR^n/L$. [/mm] Da [mm] $\IR^n/L$ [/mm] kompakt ist gibt es eine endliche Teilueberdeckung, es gibt also [mm] $x_1, \dots, x_m \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\pi(B) [/mm] = [mm] \IR^n/L$, [/mm] falls $B := [mm] \bigcup_{i=1}^m B_{x_i}$ [/mm] ist. Nun ist $B$ beschraenkt (warum?) und $L + B = [mm] \IR^n$ [/mm] (warum?).
Zur letzten Implikation: angenommen $L$ hat nicht maximalen Rang. Sei $M$ der [mm] $\IR$-Spann [/mm] von $L$; dies ist dann ein echter Untervektorraum von [mm] $\IR^n$. [/mm] Nimm eine ON-Basis [mm] $b_1, \dots, b_k$ [/mm] von $L$ und setze diese zu einer ON-Basis [mm] $b_1, \dots, b_n$ [/mm] von [mm] $\IR^n$ [/mm] fort. Sei [mm] $\pi_1$ [/mm] die orthogonale Projektion von [mm] $\IR^n [/mm] $ auf $L$, und [mm] $\pi_2$ [/mm] die orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von $L$. Dann sind [mm] $\pi_1(B)$ [/mm] und [mm] $\pi_2(B)$ [/mm] beschraenkt, und $B [mm] \subseteq \pi_1(B) \times \pi_2(B)$.
[/mm]
Weiterhin ist $L + B [mm] \subseteq [/mm] L + [mm] \pi_2(B)$.
[/mm]
Jetzt schau dir [mm] $\lambda b_{k+1}$ [/mm] an, [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Es gibt ein [mm] $\lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda b_{k+1} \not\in \pi_2(B)$. [/mm] Damit gilt aber auch [mm] $\IR^n \ni \lambda b_{k+1} \not\in [/mm] L + B = [mm] \IR^n$, [/mm] ein Widerspruch.
LG Felix
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