Gitter - Kovolumen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | p prim. Zeige, es gibt [mm] u,v\in\IZ [/mm] s.d. [mm] u^{2}+v^{2}+1=0 [/mm] mod p, und dass das Gitter:
[mm] $L_{u,v} [/mm] = [mm] {(a,b,c,d)\in\IZ^{4} : c \equiv ua+vb$ $mod$ $p$ und $d \equiv ub-va$ $mod$ $p}$
[/mm]
Kovolumen [mm] p^{2} [/mm] in [mm] \IR^{4} [/mm] hat. |
Hallo!
Ich habe den ersten Teil, also, dass u und v existieren, geschafft.
(Wenn das jemand sehen möchte sagt bescheid.)
Jetzt hängt es bei volumen und Kovolumen. Ich weiß einfach nicht, wie ich damit arbeiten kann.
Hier meine Idee/Ansatz:
Wir haben das Standard-Gitter [mm] \IZ^{4} [/mm] in [mm] \IR^{4}. [/mm] Das [mm] L_{u,v} [/mm] ist von [mm] \IZ^{4} [/mm] ein unter-Gitter. In der Vorlesung haben uns dann Theoreme gegeben, dass:
[mm] covol(L_{u,v}) [/mm] = [mm] vol(\IR^{4}/L_{u,v}) [/mm] = [mm] vol(\IR^{4}/\IZ^{4})*|\IZ^{4}/L_{u,v}|.
[/mm]
Als Ergebnis muss ja [mm] p^{2} [/mm] herauskommen. Aber ich sehe nicht, wo das in dieser Formel entsteht....
Ich hoffe jemand kann mir ein paar Tipps geben :)
Lg Loko!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 10.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> p prim. Zeige, es gibt [mm]u,v\in\IZ[/mm] s.d. [mm]u^{2}+v^{2}+1=0[/mm] mod
> p, und dass das Gitter:
> [mm]L_{u,v} = {(a,b,c,d)\in\IZ^{4} : c \equiv ua+vb[/mm] [mm]mod[/mm] [mm]p[/mm] und
> [mm]d \equiv ub-va[/mm] [mm]mod[/mm] [mm]p}[/mm]
> Kovolumen [mm]p^{2}[/mm] in [mm]\IR^{4}[/mm] hat.
>
> Ich habe den ersten Teil, also, dass u und v existieren,
> geschafft.
Schoen :)
> (Wenn das jemand sehen möchte sagt bescheid.)
> Jetzt hängt es bei volumen und Kovolumen. Ich weiß
> einfach nicht, wie ich damit arbeiten kann.
> Hier meine Idee/Ansatz:
>
> Wir haben das Standard-Gitter [mm]\IZ^{4}[/mm] in [mm]\IR^{4}.[/mm] Das
> [mm]L_{u,v}[/mm] ist von [mm]\IZ^{4}[/mm] ein unter-Gitter. In der Vorlesung
> haben uns dann Theoreme gegeben, dass:
> [mm]covol(L_{u,v})[/mm] = [mm]vol(\IR^{4}/L_{u,v})[/mm] =
> [mm]vol(\IR^{4}/\IZ^{4})*|\IZ^{4}/L_{u,v}|.[/mm]
> Als Ergebnis muss ja [mm]p^{2}[/mm] herauskommen. Aber ich sehe
> nicht, wo das in dieser Formel entsteht....
Nun, da [mm] $vol(\IR^4/\IZ^4) [/mm] = 1$ ist, muss [mm] $\IZ^4/L_{u,v}$ [/mm] genau [mm] $p^2$ [/mm] Elemente haben.
Alternativ kannst du eine Basis von [mm] $L_{u,v}$ [/mm] bestimmen und die Determinante der Matrix berechnen, in der du die Basisvektoren schreibst -- das Ergebnis ist bis auf dem Betrag gleich dem Kovolumen. Aber k.A. ob ihr dieses Resultat hattet :)
Aber zum Thema [mm] $\IZ^4/L_{u,v}$. [/mm] Wenn du dir die Gleichungen $c [mm] \equiv [/mm] u a + b v [mm] \pmod{p}$ [/mm] und $d [mm] \equiv [/mm] u b - a v [mm] \pmod{p}$ [/mm] anschaust, siehst du, dass modulo $p$ die Werte von $c$ und $d$ eindeutig durch $a$ und $b$ bestimmt sind. Du kannst also fuer jedes Paar $(a, b) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] alle $(c, d) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] mit $(a, b, c, d) [mm] \in L_{u,v}$ [/mm] genau beschreiben: moduo $p [mm] \IZ \times [/mm] p [mm] \IZ$ [/mm] gibt es genau ein solches Paar $(c, d)$.
Mehr moechte ich jetzt nicht verraten, bis auf [mm] $|\IZ^2 [/mm] / (p [mm] \IZ \times [/mm] p [mm] \IZ)| [/mm] = [mm] p^2$ [/mm] :)
LG Felix
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