Gitterbasen (Funk.theo. II) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 28.10.2015 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Ist [mm] \Lambda=\IZ\omega_{1}+\IZ\omega_{2} [/mm] ein Gitter in [mm] \IC, [/mm] so nennt man [mm] \{\omega_{1};\omega_{2}\} [/mm] eine Basis von [mm] \Lambda
[/mm]
Behauptung: Ist [mm] \{\omega_{1};\omega_{2}\} [/mm] eine Basis eines Gitters [mm] \Lambda [/mm] , so ist [mm] \{\omega_{1}';\omega_{2}'\} [/mm] genau dann auch eine Basis von [mm] \Lambda [/mm] , wenn es eine Matrix [mm] A\in\\M_{2}(\IZ) [/mm] mit [mm] det(A)\in\{-1;+1\} [/mm] und
[mm] A\vektor{\omega_{1} \\ \omega_{2}}=\vektor{\omega_{1}' \\ \omega_{2}'}
[/mm]
existiert. |
Also ich konnte nis jetzt zeigen, dass aus der Existenz der Matrix die Behauptung mit der Basis folgt. Wie könnte ich bei der Rückrichtung vorgehen? Könnte mir da mal bitte jemand weiterhelfen? Weiß vor allem nicht, was mir die Sache mit [mm] det(A)\in\{-1;+1\} [/mm] weiterhelfen soll... bzw. wie ich das folgern soll
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 28.10.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist [mm]\Lambda=\IZ\omega_{1}+\IZ\omega_{2}[/mm] ein Gitter in [mm]\IC,[/mm]
> so nennt man [mm]\{\omega_{1};\omega_{2}\}[/mm] eine Basis von
> [mm]\Lambda[/mm]
>
> Behauptung: Ist [mm]\{\omega_{1};\omega_{2}\}[/mm] eine Basis eines
> Gitters [mm]\Lambda[/mm] , so ist [mm]\{\omega_{1}';\omega_{2}'\}[/mm] genau
> dann auch eine Basis von [mm]\Lambda[/mm] , wenn es eine Matrix
> [mm]A\in\\M_{2}(\IZ)[/mm] mit [mm]det(A)\in\{-1;+1\}[/mm] und
> [mm]A\vektor{\omega_{1} \\ \omega_{2}}=\vektor{\omega_{1}' \\ \omega_{2}'}[/mm]
>
> existiert.
Wenn $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] ist, dann steht da ja [mm] $a_{11} \omega_1 [/mm] + [mm] a_{12} \omega_2 [/mm] = [mm] \omega_1'$ [/mm] und [mm] $a_{21} \omega_1 [/mm] + [mm] a_{22} \omega_2 [/mm] = [mm] \omega_2'$.
[/mm]
Verwende jetzt, dass [mm] $\omega_1$ [/mm] und [mm] $\omega_2$ [/mm] eine Basis vom Gitter ist, in dem [mm] $\omega_1'$ [/mm] und [mm] $\omega_2'$ [/mm] liegen. Was folgt damit für [mm] $a_{ij}$?
[/mm]
> Also ich konnte nis jetzt zeigen, dass aus der Existenz
> der Matrix die Behauptung mit der Basis folgt. Wie könnte
> ich bei der Rückrichtung vorgehen? Könnte mir da mal
> bitte jemand weiterhelfen? Weiß vor allem nicht, was mir
> die Sache mit [mm]det(A)\in\{-1;+1\}[/mm] weiterhelfen soll... bzw.
> wie ich das folgern soll
Also [mm] $\det(A) \in \{ -1, +1 \}$ [/mm] hilft dir nicht direkt weiter, allerdings ist es recht einfach zu zeigen. Überlege dir, was für die Matrix $B = [mm] A^{-1}$ [/mm] gilt. Für die kannst du eine ähnliche Beziehung hinschreiben wie für die Matrix $A$ oben, und damit sagen was die Einträge von $B$ sind.
Schliesslich kannst du noch [mm] $\det(AB) [/mm] = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B$ und [mm] $a_{ij} \in \IZ \Rightarrow \det [/mm] A [mm] \in \IZ$ [/mm] verwenden.
LG Felix
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