Gl.System mit Quaternion lösen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebe Mitglieder,
ich hoffe irgend jemand von Euch kann mir hierbei helfen!
Und zwar habe ich folgendes Gleichungssystem:
[mm] \underbrace{\vektor{qw \\ qx\\qy\\qz}}_{q} =\vektor{cos(\alpha/2)*cos(\gamma/2)\\sin(\alpha/2)*sin(\gamma/2)*ry +cos(\gamma/2)*sin(\gamma/2)*rx\\sin(\alpha/2)*sin(\gamma/2)*rx +cos(\gamma/2)*sin(\gamma/2)*ry\\cos(\alpha/2)*sin(\gamma/2)} [/mm]
Daraus will ich die unbekannten Größen [mm] \alpha,\gamma,rx,ry [/mm] Bestimmen.
Bekannt ist die Quaternion q.
Ich bekomme es auch hin alle größen bis auf [mm] \alpha [/mm] zu bestimmen.
Folgende Ergebnise erhalte ich :
[mm] \gamma [/mm] = 2* [mm] \arctan(qz,qw) [/mm] \ [mm] 0\le\gamma<\pi
[/mm]
rx = ( [mm] \cos(\gamma/2)*qx -sin(\gamma/2)*qy) /sin(\alpha/2)
[/mm]
ry = ( [mm] \cos(\gamma/2)*qy +sin(\gamma/2)*qx) /sin(\alpha/2)
[/mm]
Nur bei [mm] \alpha [/mm] komme ich nicht weiter, das Ergebnis soll lauten : [mm] \alpha [/mm] = [mm] \arccos(1-2*(qx^{2}+qy^{2}))
[/mm]
Hat jemand ne Idee wie man auf diese Lösung kommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo goldeneyes1987, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Gerade [mm] \alpha [/mm] ist doch nicht schwierig zu bestimmen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ich hoffe irgend jemand von Euch kann mir hierbei helfen!
> Und zwar habe ich folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]\underbrace{\vektor{qw \\
qx\\
qy\\
qz}}_{q} =\vektor{cos(\alpha/2)*cos(\gamma/2)\\
sin(\alpha/2)*sin(\gamma/2)*ry +cos(\gamma/2)*sin(\gamma/2)*rx\\
sin(\alpha/2)*sin(\gamma/2)*rx +cos(\gamma/2)*sin(\gamma/2)*ry\\
cos(\alpha/2)*sin(\gamma/2)}[/mm]
Das sieht nicht zufällig aus...
Besser lesbar wäre das, wenn Du Indizes verwenden würdest:
[mm] q_w, q_x, q_y, q_z, r_x, r_z.
[/mm]
Ansonsten finde ich aber echt klasse, dass Du Dich sofort bemühst, LaTeX zu verwenden. Die Formeldarstellung ist einfach viel besser lesbar als irgendwelche Hilfsdarstellungen wie in Programmiersprachen...
> Daraus will ich die unbekannten Größen
> [mm]\alpha,\gamma,rx,ry[/mm] Bestimmen.
> Bekannt ist die Quaternion q.
>
> Ich bekomme es auch hin alle größen bis auf [mm]\alpha[/mm] zu
> bestimmen.
> Folgende Ergebnise erhalte ich :
> [mm]\gamma[/mm] = 2* [mm]\arctan(qz,qw)[/mm] \ [mm]0\le\gamma<\pi[/mm]
Das Komma ist wohl ein Tippfehler.
[mm] \gamma=2*\arctan{\left(\bruch{qz}{qw}\right)}
[/mm]
Woher stammt die dann folgende Einschränkung?
> rx = ( [mm]\cos(\gamma/2)*qx -sin(\gamma/2)*qy) /sin(\alpha/2)[/mm]
>
> ry = ( [mm]\cos(\gamma/2)*qy +sin(\gamma/2)*qx) /sin(\alpha/2)[/mm]
>
> Nur bei [mm]\alpha[/mm] komme ich nicht weiter, das Ergebnis soll
> lauten : [mm]\alpha[/mm] = [mm]\arccos(1-2*(qx^{2}+qy^{2}))[/mm]
Ich habe Deine Ergebnisse für [mm] r_x [/mm] und [mm] r_y [/mm] nicht überprüft, auch diese Darstellung von [mm] \alpha [/mm] mag ich nicht nachrechnen. Es wäre einfach ziemlich viel Aufwand, aber sonst leicht machbar.
Klar ist doch aber, dass [mm] q_w^2+q_z^2=\cos^2{(\alpha/2)}*\cos^2{(\gamma/2)}+\cos^2{(\alpha/2)}*\sin^2{(\gamma/2)}=\cos^2{(\alpha/2)}*(\cos^2{(\gamma/2)}+\sin^2{(\gamma/2}))=\cos^2{(\alpha/2)} [/mm] ist.
Wenn man jetzt noch das Additionstheorem verwendet, nach dem [mm] \cos{(\alpha)}=2\cos^2{(\alpha/2)}-1 [/mm] ist, dann ist man doch schnell fertig:
[mm] \alpha=\arccos{(2(q_w^2+q_z^2)-1)}
[/mm]
> Hat jemand ne Idee wie man auf diese Lösung kommt?
Wie gesagt, habe ich wenig Lust, die andere Lösung auf ihre Identität mit "meiner" zu überprüfen. Aber Du suchtest ja auch nur eine Lösung, insofern sollte dies hier doch reichen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Also als erstes möchte ich mich natürlich bei dir bedanken- Vielen Dank!
Das stimmt natürlich was du ausgerechnet hast und lässt sich wie folgt auf die andere Gl. überführen:
Bei einem einheits-quaternion gilt:
[mm] q_{w}^{2} [/mm] + [mm] q_{x}^{2} [/mm] + [mm] q_{y}^{2} [/mm] + [mm] q_{z}^{2} [/mm] = 1
Formt man diese Gl. wie folgt um:
[mm] q_{z}^{2} [/mm] = 1 - [mm] q_{w}^{2} [/mm] - [mm] q_{x}^{2} [/mm] - [mm] q_{y}^{2} [/mm]
und setzt sie in deine gefundene Lösung ein, so stimmt diese mit der von "mir" überein.
Vielen Dank nochmals!
Gruß
GoldenEyes
|
|
|
|
