Glchg. nach x,y auflösbar? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Gleichung [mm] x^y [/mm] − [mm] y^x [/mm] = 0 in der Nähe von (e, e) bzw. (2, 4) nach einer der beiden Variablen auflösbar ? |
Hallo zusammen?
Ist mein Ansatz so richtig?
[mm] x^y [/mm] = [mm] y^x [/mm]
= y ln (x) = x ln(y)
= y [mm] ln(\frac{1}{x}) [/mm] = x [mm] ln(\frac{1}{y})
[/mm]
= [mm] \frac{1}{x} ln(\frac{1}{x}) [/mm] = [mm] \frac{1}{y}ln(\frac{1}{y})
[/mm]
= [mm] exp((ln\frac{1}{x})) ln(\frac{1}{x}) [/mm] = [mm] exp((ln\frac{1}{y})) ln(\frac{1}{y})
[/mm]
= [mm] ln(\frac{1}{x}) =ln(\frac{1}{y})
[/mm]
Grüße
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Hallo,
> Ist die Gleichung [mm]x^y[/mm] − [mm]y^x[/mm] = 0 in der Nähe von (e, e)
> bzw. (2, 4) nach einer der beiden Variablen auflösbar ?
So ganz verstehe ich die Frage nicht. Zwei Lösungen sind doch schon angegeben. Dass sie stimmen kannst du leicht überprüfen, indem du die Werte mal einsetzt. Oder willst du wissen, wie man auf die Lösungen kommt?
Versuchen wir das mal...
> [mm]x^y[/mm] = [mm]y^x[/mm]
Das sehe ich ein.
>[mm] = y \ln (x) = x \ln(y) [/mm]
Auch gegen diese Umformung ist nichts einzuwenden
>[mm] = y \ln(\frac{1}{x}) = x \ln(\frac{1}{y})[/mm]
Was hast du hier gemacht? Bzw. wie kommst du darauf? Wie wäre es mit:
[mm] = y \ln (x) = x \ln(y) |:x:\ln (x)[/mm]
[mm] \frac{y}{x} = \frac{\ln(y)}{\ln(x)}[/mm]
Wie man jetzt sieht, stimmt die Gleichung immer, wenn gilt: [mm] \(x=y\)
[/mm]
Man kann aber auch nochmal zusammen fassen:
[mm] \frac{y}{x}=\log_x y=c [/mm]
[mm] c\cdot x = y = x^c [/mm]
In Worten: y soll mit zwei Zahlen als Bruch und als Potenz ausgedrückt werden. Solche Wertepaare zu finden ist nicht einfach. Die Gleichung ist immer erfüllbar, wenn [mm] \(c=1\) [/mm] ist. Für andere Werte von [mm] \(c\) [/mm] muss man aufs Neue prüfen, ob es eine Lösung gibt.
Ein Auflösen nach nur einer Variable gelingt leider nicht. Man kann sich nur plausibel machen, wie Lösungen zu Stande kommen.
Viel Spaß beim Nachvollziehen,
Roland.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Wenn ich doch jetzt in einer Umgebung von (e,e) versuche diese aufzulösen, hätte ich ja [mm] x^y [/mm] = [mm] y^x \gdw \frac{y}{x}=\frac{ln(y)}{ln(x)} \gdw \frac{e}{e}=\frac{ln(e)}{ln(e)} [/mm] -> 1=1
(2,4)
[mm] \frac{4}{2}=\frac{ln(4)}{ln(2)} [/mm] -> 2=2
Also ist die Aufgabe so gelöst, wie sie im vorigen Post beschrieben wurde?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 17.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
so wie ich das verstehe, musst du nach einer Variablen auflösen. Da interessiert es doch nicht dass [mm] \(1=1\) [/mm] gilt. Nachdem ich aber die Antwort von FRED gelesen hatte, nehme ich an, dass du nur einen Wert [mm] (\(x=\mathrm{e}\) [/mm] zum Beispiel) nimmst und mit dessen Hilfe nach [mm] \(y\) [/mm] auflöst.
Aber richtig schlau werde ich auch nicht daraus. Vielleicht hat ja jemand anderes noch einen Tipp...
Viel Erfolg noch,
Roland.
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Hallo,
daß (e,e) und (2,4) Lösungen von [mm] x^y-y^x=0 [/mm] sind, ist ja jetzt nicht so die grandios neue Erkenntnis.
Hier geht es darum, ob man in einer Umgebung dieser Lösungen nach einer der Variablen auflösen kann.
Für die Beantwortung dieser Frage ist der Satz über implizite Funktionen hilfreich bzw. korrekter - damit Fred nicht böse wird - der Satz über implizit definierte Funktionen.
Hast Du ihn (den Satz) schon zu Deinem Problem befragt? (Fred hatte Dich ja schon darufhingewiesen, daß das angebracht wäre.)
Wenn nicht, solltest Du das unbedingt tun.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also sei:
Sei [mm] (x_0; y_0) \in [/mm] D; [mm] f(x_0; y_0) [/mm] = 0 und det [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0
[/mm]
Dann existiert eine offene Umgebung U [mm] \subseteq \IR^n [/mm] von [mm] x_0
[/mm]
Also es gilt:
[mm] x^y [/mm] - [mm] x^y [/mm] = 0
auflösen nach y
-> y= [mm] \frac{ln(y)}{ln(x)}*x
[/mm]
auflösen nach x
-> x= [mm] \frac{ln(x)}{ln(y)}*y
[/mm]
....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also sei:
>
> Sei [mm](x_0; y_0) \in[/mm] D; [mm]f(x_0; y_0)[/mm] = 0 und det
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0[/mm]
Ist das denn erfüllt mit [mm] (x_0; y_0)= [/mm] (e,e) und $f(x,y) = [mm] x^y-y^x$ [/mm] ??
Wenn ja, bist Du fertig mit der Aufgabe, denn eine explizite Auflösung ist nicht verlangt und auch nicht möglich.
FRED
> Dann
> existiert eine offene Umgebung U [mm]\subseteq \IR^n[/mm] von [mm]x_0[/mm]
>
> Also es gilt:
>
> [mm]x^y[/mm] - [mm]x^y[/mm] = 0
>
> auflösen nach y
>
> -> y= [mm]\frac{ln(y)}{ln(x)}*x[/mm]
>
> auflösen nach x
>
> -> x= [mm]\frac{ln(x)}{ln(y)}*y[/mm]
>
> ....
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > Hallo,
> >
> > also sei:
> >
> > Sei [mm](x_0; y_0) \in[/mm] D; [mm]f(x_0; y_0)[/mm] = 0 und det
> > [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0[/mm]
>
> Ist das denn erfüllt mit [mm](x_0; y_0)=[/mm] (e,e) und [mm]f(x,y) = x^y-y^x[/mm]
> ??
>
> Wenn ja, bist Du fertig mit der Aufgabe, denn eine
> explizite Auflösung ist nicht verlangt und auch nicht
> möglich.
>
> FRED
>
>
>
> > Dann
> > existiert eine offene Umgebung U [mm]\subseteq \IR^n[/mm] von [mm]x_0[/mm]
> >
> > Also es gilt:
> >
> > [mm]x^y[/mm] - [mm]x^y[/mm] = 0
> >
> > auflösen nach y
> >
> > -> y= [mm]\frac{ln(y)}{ln(x)}*x[/mm]
> >
> > auflösen nach x
> >
> > -> x= [mm]\frac{ln(x)}{ln(y)}*y[/mm]
> >
> > ....
[mm] f(x_0,y_0)= [/mm] 0 -> f(e,e)= [mm] e^e- e^e [/mm] = 0 und [mm] f(2,4)=2^4 -4^2=0
[/mm]
Bedinungen erfüllt!
-> $ [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0 [/mm] $
[mm] f(x,y)=x^y-y^x [/mm] = y*ln(x) - x ln(y)
[mm] \partial f(x,y)_x [/mm] = y*1/x - ln(y)
[mm] \partial f(x,y)_y [/mm] = ln(x) - x* 1/y
[mm] \partial f(e,e)_y= [/mm] ln(e) - e*1/e =0
[mm] \partial f(2,4)_y= [/mm] ln(2) - 2*1/4 [mm] \not= [/mm] 0
Bedingung für (e,e) nicht erfüllt, daher nicht auflösbar
Bedingung für (2,4) erfüllt, daher auflösbar
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > also sei:
> > >
> > > Sei [mm](x_0; y_0) \in[/mm] D; [mm]f(x_0; y_0)[/mm] = 0 und det
> > > [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0[/mm]
> >
> > Ist das denn erfüllt mit [mm](x_0; y_0)=[/mm] (e,e) und [mm]f(x,y) = x^y-y^x[/mm]
> > ??
> >
> > Wenn ja, bist Du fertig mit der Aufgabe, denn eine
> > explizite Auflösung ist nicht verlangt und auch nicht
> > möglich.
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> > > Dann
> > > existiert eine offene Umgebung U [mm]\subseteq \IR^n[/mm] von [mm]x_0[/mm]
> > >
> > > Also es gilt:
> > >
> > > [mm]x^y[/mm] - [mm]x^y[/mm] = 0
> > >
> > > auflösen nach y
> > >
> > > -> y= [mm]\frac{ln(y)}{ln(x)}*x[/mm]
> > >
> > > auflösen nach x
> > >
> > > -> x= [mm]\frac{ln(x)}{ln(y)}*y[/mm]
> > >
> > > ....
>
> [mm]f(x_0,y_0)=[/mm] 0 -> f(e,e)= [mm]e^e- e^e[/mm] = 0 und [mm]f(2,4)=2^4 -4^2=0[/mm]
>
> Bedinungen erfüllt!
>
> -> [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=x^y-y^x[/mm] = y*ln(x) - x ln(y)
Das ist doch Quatsch !
[mm]f(x,y)=x^y-y^x[/mm] [mm] \not= [/mm] y*ln(x) - x ln(y)
FRED
>
> [mm]\partial f(x,y)_x[/mm] = y*1/x - ln(y)
> [mm]\partial f(x,y)_y[/mm] = ln(x) - x* 1/y
>
> [mm]\partial f(e,e)_y=[/mm] ln(e) - e*1/e =0
> [mm]\partial f(2,4)_y=[/mm] ln(2) - 2*1/4 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Bedingung für (e,e) nicht erfüllt, daher nicht
> auflösbar
> Bedingung für (2,4) erfüllt, daher auflösbar
>
> Grüße
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
vorher wars noch richtig, (siehe erster Post) ...
und nun wie weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie ist denn [mm] x^y [/mm] definiert und wie [mm] y^x [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] x^y [/mm] = exp(y*ln(x))
[mm] y^x [/mm] = exp(x*ln(y))
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x^y[/mm] = exp(y*ln(x))
>
> [mm]y^x[/mm] = exp(x*ln(y))
>
> Grüße
Na also . Und jetzt noch mal ran an die partielle Ableitung [mm] f_y
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > [mm]x^y[/mm] = exp(y*ln(x))
> >
> > [mm]y^x[/mm] = exp(x*ln(y))
> >
> > Grüße
>
> Na also . Und jetzt noch mal ran an die partielle Ableitung
> [mm]f_y[/mm]
>
> FRED
[mm] x^y= [/mm] exp((ln(y)*x)= [mm] e^{ln(y)*x}
[/mm]
[mm] f_y= \frac{1}{y}*x [/mm] * [mm] e^{ln(y)*x}
[/mm]
[mm] y^x= [/mm] exp((ln(x)*y)= [mm] e^{ln(x)*y}
[/mm]
[mm] f_y=ln(x)*e^{ln(x)*y}
[/mm]
Grüße
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Hallo Bodo,
ja, jetzt wirds doch.
Allerdings brauchst Du dafür die Funktion nicht in zwei Teile zu zerhacken.
Besser lesbar als ln(x)*y ist übrigens [mm] y\ln{x}.
[/mm]
Und wenn Du jetzt noch [mm] f_x [/mm] bestimmst (und [mm] f_y [/mm] zusammenbastelst), dann steht der Beantwortung der Frage doch nichts mehr im Wege.
lg
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Bodo,
>
> ja, jetzt wirds doch.
> Allerdings brauchst Du dafür die Funktion nicht in zwei
> Teile zu zerhacken.
>
> Besser lesbar als ln(x)*y ist übrigens [mm]y\ln{x}.[/mm]
>
> Und wenn Du jetzt noch [mm]f_x[/mm] bestimmst (und [mm]f_y[/mm]
> zusammenbastelst), dann steht der Beantwortung der Frage
> doch nichts mehr im Wege.
>
> lg
> reverend
[mm] x^y [/mm] : [mm] f_x [/mm] = lny [mm] e^{ln(y)x}
[/mm]
[mm] y^x: f_x= \frac{1}{x}* [/mm] y * [mm] e^{ln(x)y}
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nun komm doch mal zum Punkt !
Berechne für $f(x,y) = [mm] x^y-y^x$ [/mm] die partielle Ableitung [mm] f_y [/mm] und berechne dann [mm] f_y(e,e)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Nun komm doch mal zum Punkt !
>
> Berechne für [mm]f(x,y) = x^y-y^x[/mm] die partielle Ableitung [mm]f_y[/mm]
> und berechne dann [mm]f_y(e,e)[/mm]
>
> FRED
[mm] f_y= \frac{x}{y} e^{xln(y)} [/mm] - ln(x) [mm] e^{yln(x)}
[/mm]
[mm] f(e,e)_y [/mm] = [mm] \frac{e}{e} e^{eln(e)} [/mm] - ln(e) [mm] e^{eln(e)}
[/mm]
= [mm] e^e [/mm] - [mm] e^e [/mm]
= 0
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 17.11.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
d.h. das (e,e) nicht auflösbar ist.
(2,4) ist dagegen auflösbar denn ich habe
[mm] f(2,4)_y [/mm] = 0,5 * [mm] e^{ln(4)2} [/mm] - ln(2) [mm] e^{ln(2)4}
[/mm]
= 8 - ln(2)*16
= - 3,09...
damit verschieden von Null und somit auflösbar...
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Hallo Bodo,
ja also. Ging doch.
Versuch mal, ein bisschen größere Informationsstücke einzustellen, sonst ufert die Diskussion immer so aus. Du kannst es doch!
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für die Beantwortung dieser Frage ist der Satz über
> implizite Funktionen hilfreich bzw. korrekter - damit Fred
> nicht böse wird - der Satz über implizit definierte
> Funktionen.
Ich danke Dir
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Hier ist der Satz über implizit definierte Funktionen zuständig
FRED
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Bei dem Begriff "auflösbar" geht es in diesem Fall
nicht darum, ob man die Gleichung in der Nähe
der angegebenen Punkte algebraisch nach x oder y
auflösen könne. Es geht nur darum, zu prüfen,
ob die Relation [mm] x^y=y^x [/mm] dort linkseindeutig (injektiv)
oder rechtseindeutig ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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