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Hallo Zusammen,
Habe schon wieder eine Frage. Gibt es einen "ganz formalen Weg" - also nur unter Benutzung des Summenzeichens - zu zeigen, dass [mm]\forall z\in\mathbb{C}[/mm] gilt:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{z^{4k}}{(4k)!}-\frac{z^{4k+2}}{(4k+2)!}\right)}[/mm]
Schreibt man die Summen aus, sieht man, dass sie nach dem Assoziativgesetz und wegen der absoluten Konvergenz der Reihendarstellung von Kosinus gleich sind. Aber wie zeigt man das ohne die Summen "auszuschreiben"?
Gruesse
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Do 17.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
du kannst bei der ersten Summe die Summe aufspalten in gerade k und ungerade k - dann ergibt sich der zweite Teil und du kannst wg. absoluter Konvergenz die Summen wieder zusammen ziehen:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{2k}}{(2(2k))!}z^{2(2k)}+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{2k+1}}{(2(2k+1))!}z^{2(2k+1)}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{4k+2}}{(4k+2)!}=\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{z^{4k}}{(4k)!}-\frac{z^{4k+2}}{(4k+2)!}\right)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Do 17.07.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Framl,
Vielen Dank fuer die Antwort!
Gruesse
Karl
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