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| Aufgabe | Seien X,Y,A,B Mengen mit $A,B [mm] \subset [/mm] X$ und [mm] $f:X\to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) [mm] $f(A\cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$
(b) [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ Gilt in b) sogar stets Gleichheit? |
Hallo!
Auch hier bräuchte ich wieder einen kritischen Blick über meine Ideen und Antworten auf meine Fragen.
Beweis zu (a):
Es ist Gleichheit von Mengen zu zeigen, zeige [mm] "\subset" [/mm] und [mm] "\supset" [/mm] :
" [mm] \subset [/mm] ":
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)\in f(A\cup B):=\{f(a)|a\in A\cup B\} [/mm] = [mm] \{f(a)|a\in A \mbox{ oder }a\in B\}$. [/mm] Dann ist entweder $f(x) [mm] \in \{f(a)|a\in A\}$ [/mm] oder $f(x) [mm] \notin \{f(a)|a\in A\}$. [/mm] Dieser Übergang, dass f(x) in einer der beiden Teilmengen liegt, kann man da noch deutlicher argumentieren?
Fall 1: Wenn $f(x) [mm] \in \{f(a)|a\in A\} [/mm] = f(A)$, dann ist wegen $f(A) [mm] \subset f(A)\cup [/mm] f(B)$ entsprechend $f(x) [mm] \in f(A)\cup [/mm] f(B)$.
Fall 2: Wenn $f(x) [mm] \notin \{f(x)|x\in A\}$ [/mm] folgt $f(x) [mm] \in \{f(b)|b\in B\} [/mm] = f(B)$, dann ist wegen $f(B) [mm] \subset f(A)\cup [/mm] f(B)$ entsprechend auch $f(x) [mm] \in f(A)\cup [/mm] f(B)$.
" [mm] \supset [/mm] ":
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$. Dann ist entweder $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$ oder $f(x) [mm] \notin [/mm] f(A)$.
Fall 1: Wenn $f(x) [mm] \in [/mm] f(A) := [mm] \{f(a)|a\in A\}$, [/mm] dann gilt auch $f(x) [mm] \in \{f(a)|a\in A\mbox{ oder } a\in B\} [/mm] = [mm] f(A\cup [/mm] B)$. Dieser Teilschritt, kann man da noch deutlicher argumentieren?
Fall 2: Wenn $f(x) [mm] \notin [/mm] f(A)$, folgt $f(x) [mm] \in [/mm] f(B) := [mm] \{f(b)|b\in A\}$, [/mm] dann gilt auch $f(x) [mm] \in \{f(b)|b\in A\mbox{ oder } a\in B\} [/mm] = [mm] f(A\cup [/mm] B)$.
Ich habe noch ein allgemeines Problem: Die Schreibweise $f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$ usw., ist die okay?
Nun noch zu (b): Der Beweis:
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x) [mm] \in f(A\cap [/mm] B) [mm] :=\{f(a)|a\in A\cap B\}$. [/mm] Dann ist wegen [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] :=\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in A\} [/mm] = f(A)$ entsprechend [mm] $f(x)\in [/mm] f(A)$. Analog ist wegen [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] :=\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in B\} [/mm] = f(B)$ auch [mm] $f(x)\in [/mm] f(B)$, also insgesamt [mm] $f(x)\in f(A)\cap [/mm] f(B)$.
Der Schritt [mm] $\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in A\}$, [/mm] kann der noch deutlicher gemacht werden?
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Es gilt nicht immer Gleichheit, sondern nur falls f injektiv. Ich habe mir ein Gegenbeispiel konstruiert.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
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Ich bin weiterhin an der Beantwortung interessiert.
Grüße,
Stefan
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> Seien X,Y,A,B Mengen mit [mm]A,B \subset X[/mm] und [mm]f:X\to Y[/mm] eine
> Abbildung. Zeigen Sie:
> (a) [mm]f(A\cup B) = f(A) \cup f(B)[/mm]
> (b) [mm]f(A\cap B) \subset f(A) \cap f(B)[/mm]
> Gilt in b) sogar stets Gleichheit?
> Hallo!
>
> Auch hier bräuchte ich wieder einen kritischen Blick über
> meine Ideen und Antworten auf meine Fragen.
>
> Beweis zu (a):
>
> Es ist Gleichheit von Mengen zu zeigen, zeige [mm]"\subset"[/mm] und
> [mm]"\supset"[/mm] :
>
> " [mm]\subset[/mm] ":
> Sei [mm]x\in X[/mm] mit [mm] f(x)\in f(A\cup [/mm] B):=
Hallo,
dieser Anfang ist unangebracht. Du willst ja zeigen [mm] y\in f(A\cup [/mm] B) =0> [mm] y\in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B).
Wenn man streng nach Def. arbeitet, verzettelt man sich am wenigsten.
Also:
sei [mm] y\in f(A\cup [/mm] B) .
Dann gibt es ein [mm] x\in A\cup [/mm] B mit f(x)=y.
Und damit bist Du auch das los, was Dir im beweis Unbehagen gemacht hat.
> [mm] \{f(a)|a\in A\cup B\} [/mm] = [mm] \{f(a)|a\in A \mbox{ oder }a\in B\}.
[/mm]
> Dann ist entweder [mm]f(x) \in \{f(a)|a\in A\}[/mm] oder [mm]f(x) \notin \{f(a)|a\in A\}[/mm].
> Dieser Übergang, dass f(x) in einer der beiden Teilmengen
> liegt, kann man da noch deutlicher argumentieren?
>
> Fall 1: Wenn [mm]f(x) \in \{f(a)|a\in A\} = f(A)[/mm], dann ist
> wegen [mm]f(A) \subset f(A)\cup f(B)[/mm] entsprechend [mm]f(x) \in f(A)\cup f(B)[/mm].
>
> Fall 2: Wenn [mm]f(x) \notin \{f(x)|x\in A\}[/mm] folgt [mm]f(x) \in \{f(b)|b\in B\} = f(B)[/mm],
> dann ist wegen [mm]f(B) \subset f(A)\cup f(B)[/mm] entsprechend auch
> [mm]f(x) \in f(A)\cup f(B)[/mm].
>
> " [mm]\supset[/mm] ":
> Sei [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x) \in f(A) \cup f(B)[/mm]. Dann ist entweder
> [mm]f(x) \in f(A)[/mm] oder [mm]f(x) \notin f(A)[/mm].
Auch hier. sei [mm] y\in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B). ==> [mm] y\in [/mm] f(A) oder [mm] y\in [/mm] f(B) ==> es gibt ein x in A oder in B mit usw.
Für Aufgabe b) entsprechend.
Gruß v. Angela
>
> Fall 1: Wenn [mm]f(x) \in f(A) := \{f(a)|a\in A\}[/mm], dann gilt
> auch [mm]f(x) \in \{f(a)|a\in A\mbox{ oder } a\in B\} = f(A\cup B)[/mm].
> Dieser Teilschritt, kann man da noch deutlicher
> argumentieren?
>
> Fall 2: Wenn [mm]f(x) \notin f(A)[/mm], folgt [mm]f(x) \in f(B) := \{f(b)|b\in A\}[/mm],
> dann gilt auch [mm]f(x) \in \{f(b)|b\in A\mbox{ oder } a\in B\} = f(A\cup B)[/mm].
>
> Ich habe noch ein allgemeines Problem: Die Schreibweise
> [mm]f(x) \in f(A)[/mm] usw., ist die okay?
>
> Nun noch zu (b): Der Beweis:
>
> Sei [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x) \in f(A\cap B) :=\{f(a)|a\in A\cap B\}[/mm].
> Dann ist wegen [mm]f(A\cap B) :=\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in A\} = f(A)[/mm]
> entsprechend [mm]f(x)\in f(A)[/mm]. Analog ist wegen [mm]f(A\cap B) :=\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in B\} = f(B)[/mm]
> auch [mm]f(x)\in f(B)[/mm], also insgesamt [mm]f(x)\in f(A)\cap f(B)[/mm].
> Der Schritt [mm]\{f(a)|a\in A\cap B\} \subset \{f(a)|a\in A\}[/mm],
> kann der noch deutlicher gemacht werden?
>
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> Es gilt nicht immer Gleichheit, sondern nur falls f
> injektiv. Ich habe mir ein Gegenbeispiel konstruiert.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan
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Hallo Angela,
dir noch einmal vielen Dank für deine Antworten!
Besonders dein Lösungsvorschlag hat mir sehr viel gebracht, da ich jetzt mit diesen Urbildmengen und Bildmengen viel besser umgehen kann 
Grüße,
Stefan
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