Gleichheit von Integralen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Do 18.11.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, [/mm] A, µ) ein Maßraum und [mm] f:\Omega \to \IR [/mm] eine integrierbare Funktion. Sei [mm] (\phi)_n [/mm] eine Folge meßbarer Funktionen mit [mm] |\phi_n(\omega)|<= [/mm] c für alle n und alle [mm] \omega [/mm] mit c>0. Sei [mm] \phi [/mm] derart, daß [mm] \phi(\omega)= \lim_{n \to \infty} \phi_n(\omega) [/mm] gilt. Dann gilt:
[mm] \lim_{n \to \infty} \int \phi_n*f\, [/mm] dµ = [mm] \int \phi*f \, [/mm] dµ. |
Hallo zusammen,
und noch so eine Frage. Richtig weiter komme ich nicht. Klar ist, daß [mm] \phi [/mm] meßbar ist und auch [mm] |\phi|<=c [/mm] gilt. Ich habe versucht, mir aus den [mm] \phi_n [/mm] eine Folge nichtnegativer meßbarer Funktionen zu konstruieren, also etwa [mm] h_k=sup\{|\phi_1|,...|\phi_k|\}, [/mm] um den Satz von Levi anwenden zu können, [mm] (h_k [/mm] konvergiert dann ja gegen [mm] |\phi|), [/mm] aber dann muß ich ja weiter mit Beträgen arbeiten und komme dabei auch nicht zum Ziel.
Also wieder mal: Vermutlich bin ich da ja mal wieder fundamental auf dem Holzweg, also wäre ich für einen Tipp dankbar, welche Beweisidee zum Ziel führen könnte.
Danke im voraus,
Limaros
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $g_n:=\phi_n*f$ [/mm] und $g:= [mm] \phi*f$
[/mm]
Dann: [mm] $|g_n| \le [/mm] c*|f|$ und c|f| ist integrierbar
Jetzt Konvergenzsatz von Lebesgue anwenden
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:25 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Limaros |
Jetzt ist's klar. Danke! Aber dann habe ich doch noch eine kleine Frage. Solche Aufgaben machen mir weiterhin Probleme, deswegen folgendes Anliegen:
Gibt es ein Buch oder was im Netz mit ähnlichen Aufgaben über L-Integrierbarkeit, Meßbarkeit, Satz von Levi/Lebesgue, am besten mit Lösungshinweisen? Wo kriege ich da einfach noch ein paar mehr Übungsaufgaben zum Thema?
Danke im voraus, Limaros
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
