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| Aufgabe | Sei R ein Ring mit Einselement und sei A [mm] \in R^m^,^n, [/mm] wobei m,n [mm] \in \IN^+. [/mm] Zeigen Sie:
a) Wenn es Matrizen B,C [mm] \in R^m^,^n [/mm] gibt mit [mm] B*A=E_n [/mm] und [mm] A*C=E_m, [/mm] so folgt B=C.
b) Sei R Körper. Wenn m<n (m>n), so gibt es kein B [mm] \in R^n^,^m [/mm] mit [mm] B*A=E_n (A*B=E_m). [/mm]
Bemerkung: Dies gilt auch, wenn R ein beliebiger kommutativer Ring mit Einselement ist. |
Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
diese Aufgabe macht mir zu schaffen, und ich weiß nicht genau wie ich den Beweis angehen soll.
Ich würde jetzt für A,B und C Matrizen definieren, aber in der Vorlesung hieß es, es ginge auch einfacher.
Sehe ich das richtig, dass A für B rechtsinvers ist und für C linksinvers?
Danke schon mal für eure Hilfe!
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> Sei R ein Ring mit Einselement und sei A [mm]\in R^m^,^n,[/mm] wobei
> m,n [mm]\in \IN^+.[/mm] Zeigen Sie:
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> a) Wenn es Matrizen B,C [mm]\in R^m^,^n[/mm] gibt mit [mm]B*A=E_n[/mm] und
> [mm]A*C=E_m,[/mm] so folgt B=C.
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> b) Sei R Körper. Wenn m<n (m>n), so gibt es kein B [mm]\in R^n^,^m[/mm]
> mit [mm]B*A=E_n (A*B=E_m).[/mm]
> Bemerkung: Dies gilt auch, wenn R ein beliebiger
> kommutativer Ring mit Einselement ist.
> Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
>
> diese Aufgabe macht mir zu schaffen, und ich weiß nicht
> genau wie ich den Beweis angehen soll.
> Ich würde jetzt für A,B und C Matrizen definieren, aber
> in der Vorlesung hieß es, es ginge auch einfacher.
> Sehe ich das richtig, dass A für B rechtsinvers ist und
> für C linksinvers?
Ja, bzw. B ist Linksinverse von A und C Rechtsinverse. Zu zeigen ist dann, dass beide gleich sein müssen.
Dazu betrachte $B*A*C$ ...
>
> Danke schon mal für eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 11.12.2011 | | Autor: | Zero-Zero |
Hallo donquijote,
Danke für Deine Hilfe! Ich habe hier also folgendes gedacht: Davon ausgehend, dass ich mir [mm] B\*A\*C [/mm] ansehen sollte, komme ich auf folgendes:
[mm] B=B*E_m=B*(A*C)=(B*A)*C=E_n*C=C
[/mm]
Ist das richtig überlegt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 So 11.12.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo donquijote,
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> Danke für Deine Hilfe! Ich habe hier also folgendes
> gedacht: Davon ausgehend, dass ich mir [mm]B\*A\*C[/mm] ansehen
> sollte, komme ich auf folgendes:
>
> [mm]B=B*E_m=B*(A*C)=(B*A)*C=E_n*C=C[/mm]
>
> Ist das richtig überlegt?
ja. und so ist es dann auch ganz einfach....
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