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Forum "stochastische Prozesse" - Gleichheit von Summen
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Gleichheit von Summen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:36 Mi 20.01.2016
Autor: laupl

Hallo,
mal wieder eine Frage aus der Praxis. Deswegen gleich vorneweg: Ich versuche meine Frage so detailliert wie möglich zu stellen. Kann aber gut sein, dass ich das nicht mathematisch einwandfrei hinbekomme. Im Zweifel einfach nachfragen, dann veruche ich noch besser zu beschreiben.

Nun aber zum Thema. Es geht um die Gleichheit von Phasen von auf verschiedenen Wegen berechneten Kreuzleistungen. Ich habe festgestellt, dass die Phasen der folgenden Kreuzleistungen (ungefähr) gleich sind:
[mm] $angle\left\{\left\langle \boldsymbol{a}_1\boldsymbol{a}_2^\*\right\rangle\right\} \approx angle\left\{\left\langle \boldsymbol{a}_1\boldsymbol{a}_3^\*\right\rangle \left\langle \boldsymbol{a}_3\boldsymbol{a}_2^\*\right\rangle\right\}$ [/mm]

Dabei stellt [mm] $\left\langle\right\rangle$ [/mm] einen Mittelwert dar und [mm] $^\*$ [/mm] bedeutet komplex konjugiert. Also anders geschrieben:
[mm] $angle\left\{\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K\left(exp(-j\alpha_{1,k})exp(j\alpha_{2,k}\right)\right\}\approx angle\left\{\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K \left( exp(-j\alpha_{1,k})exp(j\alpha_{3,k})\right)\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K \left(exp(-j\alpha_{3,k})exp(j\alpha_{2,k})\right)\right\}$ [/mm]

[mm] $\boldsymbol{a}_1$, $\boldsymbol{a}_2$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{a}_3$ [/mm] sind stochastische Signale, die eine gewisse Kohärenz zueinander aufweisen. $k$ sind letztendlich die einzelnen Fenster einer Mittelung.

Wenn ich die ganze Rechnung mit Zufallszahlen durchrechne, sehe ich, dass die Phase fast gleich ist. Lässt sich auch mathematisch zeigen, dass das so sein muss?
Hoffe das war verständlich und jemand hat einen Vorschlag. Und wie gesagt: Gerne rückfragen!

Danke, Gruß

        
Bezug
Gleichheit von Summen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:16 Do 21.01.2016
Autor: laupl

Hallo,
die Frage nochmal etwas anders gestellt: Lässt sich in Abhängigkeit von den Winkeln [mm] $\alpha_{1,k}$, $\alpha_{2,k}$ [/mm] und [mm] $\alpha_{3,k}$ [/mm] sagen, wie weit die beiden Seiten der Gleichung auseinander liegen?

Danke, Gruß

Bezug
                
Bezug
Gleichheit von Summen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 26.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Gleichheit von Summen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 24.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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