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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}$, $\alpha\in\{k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\IZ\}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2}(tan(\beta)-cot(\beta))+\frac{1}{sin(2\beta)}=tan(\beta)$, $\beta\not= k*\frac{\pi}{2}, k\in\IZ$
[/mm]
$sin [mm] \alpha+sin \beta+sin \gamma=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})$, $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie die erste Gleichheit nur für [mm] $\alpha\in\{0,\frac{\pi}{2}\}$(Assuming-Befehl!).Die [/mm] komplette
Behauptung folgt dann sofort aus der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] von Sinus und Kosinus. |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich habe das Problem Gleichheit bei obiger Aufgabe zu zeigen.
verify(sin(2*alpha))/(1+cos(2*alpha)), sqrt((1-cos(2*alpha))/(1+cos(2*alpha))),equal)assuming(alpha in 0..Pi/2)
Die Gleichung als solche stimmt. Ich habe es nachgerechnet.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Fr 27.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> [mm]\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}[/mm],
> [mm]\alpha\in\{k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\IZ\}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2}(tan(\beta)-cot(\beta))+\frac{1}{sin(2\beta)}=tan(\beta)[/mm],
> [mm]\beta\not= k*\frac{\pi}{2}, k\in\IZ[/mm]
>
> [mm]sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})[/mm],
> [mm]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie die erste Gleichheit nur für
> [mm]\alpha\in\{0,\frac{\pi}{2}\}[/mm](Assuming-Befehl!).Die
> komplette
> Behauptung folgt dann sofort aus der [mm]2\pi[/mm]-Periodizität
> von Sinus und Kosinus.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich habe das Problem Gleichheit bei obiger Aufgabe zu
> zeigen.
>
> verify(sin(2*alpha))/(1+cos(2*alpha)),
> sqrt((1-cos(2*alpha))/(1+cos(2*alpha))),equal)assuming(alpha
> in 0..Pi/2)
>
> Die Gleichung als solche stimmt. Ich habe es nachgerechnet.
na, dann hast Du doch alles gezeigt? Was ist nun Deine Frage?
Und was macht diese Frage im Maple-Forum?
Nebenbei: In der Aufgabe ist wohl ein Fehler:
[mm] $\alpha \in \{k\pi, \frac{\pi}{\red{4}}+k\pi, k\in\IZ\}$
[/mm]
sollte es wohl heißen!
Nun:
Wenn Du zeigst, was Du gerechnet hast, können wir gerne drübergucken...
Ich zeige Dir mal nur *einen Teil* der Lösung der Aufgabe, die erste
Gleichheit zu beweisen:
Wir setzen [mm] $A:=\{\pi/\red{4}+k*\pi: k \in \IZ\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{k*\pi: k \in \IZ\}\,.$
[/mm]
Deine Aufgabe lautet dann, zu zeigen:
[mm] $\alpha \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ [mm] $\Longrightarrow$ $\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}$
[/mm]
Und ich schreibe mal x anstatt [mm] $\alpha$; [/mm] solange der Nenner nicht Null ist (dann
darf die Gleichung eh nicht hingeschrieben werden), ist diese Gleichung
gleichwertig mit:
[mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x)\,.$
[/mm]
Für $x [mm] \in [/mm] A$ ist aber
[mm] $\sin(2x)=\sin(\pi/2+k*2\pi)=\sin(\pi/2)=1$
[/mm]
und
[mm] $\cos(2x)=\cos(\pi/2+k*2\pi)=\cos(\pi/2)=0$ [/mm] und damit [mm] $1-\cos(2x)=1-0=1\,.$
[/mm]
(Das Ganze kann man sich auch wunderschön mit den Graphen von
[mm] $f(\cdot)=\sin(\cdot)$ [/mm] und [mm] $g(\cdot)=\cos(\cdot)$
[/mm]
veranschaulischen (substituiere meinetwegen [mm] $z:=2x=2\alpha$).)
[/mm]
Übrigens ist der Hinweis bei der ersten Aufgabe vollkommen überflüssig...
P.S. Was Du noch machen solltest, ist auch kurz zu begründen, dass
[mm] $1+\cos(2x) \not=0$
[/mm]
ist für $x [mm] \in A=\{\pi/\red{4}+k*\pi: k \in \IZ\}$...
[/mm]
Nebenbei: Wenn Du meinen Hinweis mit der Varanschaulischung verstehst,
dann solltest Du direkt *sehen können*, dass
[mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x)$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.
(Oben habe ich nur $x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow \sin(2x)=1-\cos(2x)$ [/mm] begründet; Du musst
noch $x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow \sin(2x)=1-\cos(2x)$ [/mm] begründen, damit die Aufgabe vollständig
gelöst ist!
Mit den Graphen *sieht* man aber schnell, dass [mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
auch gilt; wenngleich das natürlich kein Beweis ist...)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
in der Aufgaben stellung steht doch tatsächlich [mm] $\frac{\pi}{2}$. [/mm]
Ich danke dir vielmals.
Frohe Festtage
Christoph
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