Gleichheit zeigen/beweisen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien A,B und C beliebige Mengen. Kreuzen Sie jeweils "Ja" an wenn die Aussage stimmt oder "nein", wenn sie nicht stimmt.
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe einige Fragen zum Verstaendnis und zu der Herangehensweise an diese Aufgabe:
1. Gibt es einen Weg diese Aufgabe auch ohne Beweisfuehrung zu Loesen? Wenn ja, ist es sinnvoll? Ich Frage aus dem Grund, weil weder in der Vorlesung noch in der Aufgabenstellung die Rede von einem Beweis ist. Allerdings habe ich das Gefuehl, das diese Aufgabe ohne konkrete Beweisfuehrung nicht so leicht zu loesen ist. (Folgende Beweismethoden habe ich mir bereits angesehen: Direkter Beweis, Kontraposition, Beweis durch Wiederspruch und vollstaendige Induktion)
2. Warum ist hier die Rede von einer Aussage? Soweit ich das verstanden habe (aus dem Skript) ist eine Aussage eine Aussageform mit einem Wahrheitswert(wahr oder falsch), aber diese vermeintliche "Aussage" enthaelt doch noch keinen Wahrheitswert(bzw enthaelt zwar schon einen Wahrheitswert, allerdings ist dieser noch nicht bekannt und somit auch noch nicht zugeordnet), also ist es doch bis zu dem Zeitpunkt der Loesung eine Aussageform, oder irre ich mich?
Zu dem Beweis:
Mein Ansatz:
Sei x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C
1. Fall:
Sei x [mm] \in [/mm] C, dann ist x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C), weil wenn x [mm] \in [/mm] C dann ist x auch in B oder C, weil ich C beliebig vergroessern darf, ohne das x auf einmal kein Element mehr aus der Vereinigung mit C ist.
Ok bis hierhin, jetzt muss ich noch Zeigen das x auch in dem Schnitt mit A drin ist. Das ist zwar moeglich aber nicht zwingend erforderlich.
1.1. Fall:
Angenommen x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) und x [mm] \in [/mm] A, dann ist auch x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)). Fertig.
1.2. Fall:
Angenommen x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) und x [mm] \not\in [/mm] A, dann ist x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)). Wiederspruch, weil x bei der Schnittmenge zwingend in Beiden Mengen enthalten sein muss.
[mm] \Rightarrow [/mm] Aussage falsch!
2. Fall:
Sei (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B), dann ist x [mm] \in [/mm] B und somit gilt auch x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C). Da wir wissen, dass auch x [mm] \in [/mm] A gilt, folgt x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C). Fertig
[mm] \Rightarrow [/mm] Aussage ist Wahr.
Ist das die richtige Herangehensweise an eine solche Aufgabe? (Also an eine Aufgabe bei der man nur wahr oder falsch ankreuzen muss)?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 24.10.2015 | | Autor: | abakus |
> Es seien A,B und C beliebige Mengen. Kreuzen Sie jeweils
> "Ja" an wenn die Aussage stimmt oder "nein", wenn sie nicht
> stimmt.
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe einige Fragen zum Verstaendnis und zu der
> Herangehensweise an diese Aufgabe:
>
> 1. Gibt es einen Weg diese Aufgabe auch ohne Beweisfuehrung
> zu Loesen? Wenn ja, ist es sinnvoll? Ich Frage aus dem
> Grund, weil weder in der Vorlesung noch in der
> Aufgabenstellung die Rede von einem Beweis ist. Allerdings
> habe ich das Gefuehl, das diese Aufgabe ohne konkrete
> Beweisfuehrung nicht so leicht zu loesen ist. (Folgende
> Beweismethoden habe ich mir bereits angesehen: Direkter
> Beweis, Kontraposition, Beweis durch Wiederspruch und
> vollstaendige Induktion)
>
> 2. Warum ist hier die Rede von einer Aussage? Soweit ich
> das verstanden habe (aus dem Skript) ist eine Aussage eine
> Aussageform mit einem Wahrheitswert(wahr oder falsch), aber
> diese vermeintliche "Aussage" enthaelt doch noch keinen
> Wahrheitswert(bzw enthaelt zwar schon einen Wahrheitswert,
> allerdings ist dieser noch nicht bekannt und somit auch
> noch nicht zugeordnet), also ist es doch bis zu dem
> Zeitpunkt der Loesung eine Aussageform, oder irre ich
> mich?
>
> Zu dem Beweis:
>
> Mein Ansatz:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] C
>
> 1. Fall:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] C, dann ist x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C), weil wenn x [mm]\in[/mm] C
> dann ist x auch in B oder C, weil ich C beliebig
> vergroessern darf, ohne das x auf einmal kein Element mehr
> aus der Vereinigung mit C ist.
>
> Ok bis hierhin, jetzt muss ich noch Zeigen das x auch in
> dem Schnitt mit A drin ist. Das ist zwar moeglich aber
> nicht zwingend erforderlich.
>
> 1.1. Fall:
>
> Angenommen x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) und x [mm]\in[/mm] A, dann ist auch x
> [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)). Fertig.
>
> 1.2. Fall:
>
> Angenommen x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) und x [mm]\not\in[/mm] A, dann ist x
> [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)). Wiederspruch, weil x bei der
> Schnittmenge zwingend in Beiden Mengen enthalten sein
> muss.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage falsch!
>
> 2. Fall:
>
> Sei (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B), dann ist x [mm]\in[/mm] B und somit
> gilt auch x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C). Da wir wissen, dass auch x [mm]\in[/mm]
> A gilt, folgt x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C). Fertig
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage ist Wahr.
>
> Ist das die richtige Herangehensweise an eine solche
> Aufgabe? (Also an eine Aufgabe bei der man nur wahr oder
> falsch ankreuzen muss)?
Zeichne dir zweimal das gleiche Venn-Diagram mit 3 sich gegenseitig überschneidenden Mengen A, B und C.
Schraffiere im ersten Diagramm die Menge [mm](A\cap B) \cup C[/mm] und im zweiten Diagramm die Menge [mm]A\cap (B \cup C)[/mm] und erkenne glasklar, dass es NICHT das Gleiche ist.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo Abakus,
danke fuer deine Antwort.
Stimmt, man sieht es sofort. Danke dafuer. Es gibt zwar auch die Moeglichkeit die Mengen so zu zeichnen, dass die Aussage stimmt, aber es muss ja immer gelten. Eine weitere Frage waere wie man auf die Idee kommt die Mengen so zu zeichnen. Gibt es da ein System?
Ist denn mein "rechnerischer" Ansatz richtig?
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
> Stimmt, man sieht es sofort. Danke dafuer. Es gibt zwar
> auch die Moeglichkeit die Mengen so zu zeichnen, dass die
> Aussage stimmt, aber es muss ja immer gelten. Eine weitere
> Frage waere wie man auf die Idee kommt die Mengen so zu
> zeichnen. Gibt es da ein System?
Hallo Blutritter,
um aus einem solchen Mengendiagramm allgemein
gültige Schlüsse ziehen zu können, muss man beim Zeichnen
von der allgemeinsten möglichen Situation ausgehen.
Geht es z.B. um insgesamt 3 Mengen A,B,C, dann sollen
im Diagramm alle [mm] 2^3=8 [/mm] möglichen Fälle durch nicht-
leere Teilflächen repräsentiert sein.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 25.10.2015 | | Autor: | Blutritter |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke fuer die Antwort.
Das ist offenbar nur dann der Fall, wenn alle drei Mengen sich gegenseitig schneiden. Ich hoffe das stimmt so.
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
Das Venn-Diagramm kannst du bis zu 3 Mengen mit 3 "Olympischen Ringen" immer anwenden. Schon bei 4 Flächen hast du kaum eine Chance, diese so miteinander zu kombinieren, dass alle möglichen Teilflächen entstehen (du könntest vielleicht für die 4. Fläche in jede bisherige Teilfläche einen Farbklecks einzeichnen - auch in die Außenfläche - und dir die Gesamtheit der Farbkleckse als 4. Fläche vorstellen).
Um nun festzustellen, ob eine solche Aussage gilt, musst du immer ganze Teilflächen betrachten und damit testen. In einfachen Fällen wie bei dieser Aufgabe ist diese Methode unschlagbar schnell, alles andere wäre mit Kanonen auf Spatzen schießen!
Grundsätzlich solltest und musst du in der Lage sein, den Beweis formal so durchzuführen, wie du es schon getan hast, also ohne die Bilder, denn es ist manchmal schwierig, zu erkennen, ob z.B. eine Menge Untermenge einer anderen oder der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist. Das geht meistens nur formal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 So 25.10.2015 | | Autor: | Blutritter |
Hallo HJKweseleit,
danke auch dir fuer deine Antwort.
> Um nun festzustellen, ob eine solche Aussage gilt, musst du
> immer ganze Teilflächen betrachten und damit testen. In
> einfachen Fällen wie bei dieser Aufgabe ist diese Methode
> unschlagbar schnell, alles andere wäre mit Kanonen auf
> Spatzen schießen!
Also ab 4 Mengen waere es nicht ratsam die "Zeichenmethode" durchzufuehren?!
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Sa 24.10.2015 | | Autor: | Blutritter |
Die 2. Frage kann ignoriert werden. Ich habe die Mengen mit Aussagen verwechselt. Mir ist nun klar warum es sich um eine Aussage handelt.
Es ist eine Aussage, deren Wahrheitswert noch nicht bekannt ist und den es eben gilt in der Aufgabe herauszufinden.
Eine Aussageform hingegen hat "noch keinen" Wahrheitswert, weil die Variablen nicht belegt sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:38 So 25.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Blutritter und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es ist eine Aussage, deren Wahrheitswert noch nicht bekannt
> ist und den es eben gilt in der Aufgabe herauszufinden.
>
> Eine Aussageform hingegen hat "noch keinen" Wahrheitswert,
> weil die Variablen nicht belegt sind.
Genauso würde ich es auch sehen.
Man kann auch
(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \cup [/mm] $ C = A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ C)
als Aussageform in den Variablen A, B und C ansehen.
Gemeint ist in der Aufgabe dann die (falsche) Aussage
"Für alle Mengen A, B und C gilt (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \cup [/mm] $ C = A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ C)."
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:37 So 25.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> 1. Gibt es einen Weg diese Aufgabe auch ohne Beweisfuehrung
> zu Loesen? Wenn ja, ist es sinnvoll? Ich Frage aus dem
> Grund, weil weder in der Vorlesung noch in der
> Aufgabenstellung die Rede von einem Beweis ist. Allerdings
> habe ich das Gefuehl, das diese Aufgabe ohne konkrete
> Beweisfuehrung nicht so leicht zu loesen ist.
Die Aufgabenstellung klingt für mich so, als verlange der Aufgabensteller keine Begründung der Antwort.
Dennoch solltest du deine Antwort natürlich für dich begründen.
Falls die Gleichheit stets (d.h. für alle Mengen A, B und C) zutrifft, wäre ein Beweis dieser Aussage das Mittel der Wahl zur Begründung.
Falls die Gleichheit im Allgemeinen (also für mindestens eine Wahl von Mengen A, B und C) nicht zutrifft, ist ein konkretes Beispiel von Mengen A, B und C, für die die Gleichheit nicht stimmt, das Mittel der Wahl zur Begründung.
> Mein Ansatz:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] C
Ja.
> 1. Fall:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] C, dann ist x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C),
Ja, das gilt nach Definition der Vereinigung [mm] $B\cup [/mm] C$.
> weil wenn x [mm]\in[/mm] C
> dann ist x auch in B oder C, weil ich C beliebig
> vergroessern darf, ohne das x auf einmal kein Element mehr
> aus der Vereinigung mit C ist.
(Diesen Teil würde ich streichen.)
> Ok bis hierhin, jetzt muss ich noch Zeigen das x auch in
> dem Schnitt mit A drin ist.
Wenn du
(*) ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] [mm] C)$\subseteq A\cap (B\cup [/mm] C)$
zeigen willst, ist genau das zu tun.
Aber (*) stimmt im Allgemeinen gar nicht.
Somit wird dir kein Beweis gelingen.
> Das ist zwar moeglich aber
> nicht zwingend erforderlich.
>
> 1.1. Fall:
>
> Angenommen x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) und x [mm]\in[/mm] A, dann ist auch x
> [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)). Fertig.
>
> 1.2. Fall:
>
> Angenommen x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) und x [mm]\not\in[/mm] A, dann ist x
> [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)). Wiederspruch, weil x bei der
> Schnittmenge zwingend in Beiden Mengen enthalten sein
> muss.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage falsch!
Du hast grob vereinfacht gesagt in etwa so argumentiert:
Fall a): blablabla gilt Dann ist für blablabla nichts mehr zu zeigen.
Fall b): blablabla gilt nicht Dann haben wir einen Widerspruch zu blablabla.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] blablabla ist falsch.
So könntest du von jeder Aussage blablabla "beweisen", dass sie falsch ist!
Tatsächlich lässt sich aus den Betrachtungen der Fälle a) und b) nicht folgern, dass blablabla falsch ist.
Dazu müsstest du in beiden (!) Fällen zum Ergebnis "blablabla falsch" kommen.
> 2. Fall:
>
> Sei (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B), dann ist x [mm]\in[/mm] B und somit
> gilt auch x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da wir wissen, dass auch x [mm]\in[/mm]
> A gilt, folgt x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C). Fertig
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage ist Wahr.
Im Fall 2 hast du die Aussage [mm] $x\in A\cap (B\cup [/mm] C)$ bewiesen.
Nützen würde dir dies, wenn du auch im Fall 1 [mm] $x\in A\cap(B\cup [/mm] C)$ zeigen könntest (was aber gar nicht zutrifft).
Dann hättest (!) du [mm] $(A\cap B)\cup C\blue\subseteq A\cap (B\cup [/mm] C)$ gezeigt, aber noch nicht [mm] $(A\cap B)\cup C\blue= A\cap (B\cup [/mm] C)$.
Aus logischer Sicht hast du nichts wirklich gezeigt.
Aber du kannst aufgrund deiner Überlegungen vermuten, dass ein Beweis von [mm] $(A\cap B)\cup C\blue= A\cap (B\cup [/mm] C)$ nicht so ohne Weiteres zu gelingen scheint.
Vielleicht probierst du es dann mal mit einem Gegenbeispiel?
> Ist das die richtige Herangehensweise an eine solche
> Aufgabe? (Also an eine Aufgabe bei der man nur wahr oder
> falsch ankreuzen muss)?
Das ist eine von mehreren möglichen sinnvollen Herangehensweisen:
i) Du versuchst einfach mal, die Gleichheit aus der Aufgabenstellung zu beweisen.
Wenn dir das gelingt, hast du dich von der Gültigkeit überzeugt.
Wenn dir das nicht gelingt, hast du ein Indiz (aber natürlich keinen Beweis) dafür, dass die Gleichheit aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen möglicherweise nicht gilt.
Eine Alternative wäre:
ii) Probiere an Beispielen für Mengen A, B und C aus, ob die Gleichheit aus der Aufgabenstellung für diese Beispiel-Wahlen zutrifft oder nicht.
Falls du auf ein Gegenbeispiel triffst, hast du dich überzeugt, dass die Gleichheit aus der Aufgabenstellung im Allgemeinen nicht gilt.
Ansonsten hast du ein Indiz (aber natürlich keinen Beweis) dafür, dass die Gleichheit aus der Aufgabenstellung vielleicht stets gelten könnte.
Schon vorgeschlagen wurde dir folgende Methode:
iii) Arbeite mit veranschaulichenden Vorstellungen (hier z.B. einem Venn-Diagramm), um zu Vermutungen zu kommen.
(Diese Liste erhebt natürlich keinen Anspruch auf Vollständigkeit.)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo tobit09,
freue mich hier im Forum angemeldet zu haben. Mit so vielen Rueckmeldungen in so kurzer Zeit haette ich nicht gerechnet.
> Falls die Gleichheit stets (d.h. für alle Mengen A, B und
> C) zutrifft, wäre ein Beweis dieser Aussage das Mittel der
> Wahl zur Begründung.
> Falls die Gleichheit im Allgemeinen (also für mindestens
> eine Wahl von Mengen A, B und C) nicht zutrifft, ist ein
> konkretes Beispiel von Mengen A, B und C, für die die
> Gleichheit nicht stimmt, das Mittel der Wahl zur
> Begründung.
Also wenn die Aussage wahr waere, haette ich auf die Loesung mit einem Formalen (direkten) Beweis kommen sollen. Da die Aussage nicht wahr ist kann ich "einfach" ein Gegenbeispiel angeben?! Um herauszufinden ob es sich um eine wahre oder falsche Aussage handelt, kann ich eine der 3 - i) - iii) - unten genannten Methoden probieren.
> > Ok bis hierhin, jetzt muss ich noch Zeigen das x auch in
> > dem Schnitt mit A drin ist.
> Wenn du
>
> (*) ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C)[mm]\subseteq A\cap (B\cup C)[/mm]
>
> zeigen willst, ist genau das zu tun.
> Aber (*) stimmt im Allgemeinen gar nicht.
Ok, ich muss also wie oben erwaehnt ersteinmal herauskriegen ob die Aussage stimmen kann.
> Somit wird dir kein Beweis gelingen.
Auch nicht der Beweis, dass die Aussage falsch ist?
> Du hast grob vereinfacht gesagt in etwa so argumentiert:
>
> Fall a): blablabla gilt Dann ist für blablabla
> nichts mehr zu zeigen.
> Fall b): blablabla gilt nicht Dann haben wir einen
> Widerspruch zu blablabla.
> [mm]\Rightarrow[/mm] blablabla ist falsch.
>
> So könntest du von jeder Aussage blablabla "beweisen",
> dass sie falsch ist!
Ich dachte sobald die Aussage nicht allgemeingueltig ist (also nich fuer alle moeglichen Faelle gilt) stimmt sie nicht. Und sobald ich mindestens ein Beispiel angeben kann fuer das die Aussage nicht gilt ist klar dass die Aussage auch im allgemeinen nicht gelten kann. Ich habe das Gefuehl das ich irgwndetwas uebersehe nur weiss ich noch nicht was es ist.
> Tatsächlich lässt sich aus den Betrachtungen der Fälle
> a) und b) nicht folgern, dass blablabla falsch ist.
Aus a) (1.1.) und b) (1.2.) nicht, weil a) (1.1.) ja wahr ist, aber auch nicht aus b) (1.2.)?
> Dazu müsstest du in beiden (!) Fällen zum Ergebnis
> "blablabla falsch" kommen.
Aber es ist doch moeglich das die Aussage (vorausgesetzt man waehlt die Mengen so das es stimmt) in manchen Faellen wahr ist? Wichtig ist ja nur das die Aussage in allen moeglichen Faellen nicht wahr ist, oder irre ich mich?
> > 2. Fall:
> >
> > Sei (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B), dann ist x [mm]\in[/mm] B und somit
> > gilt auch x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C).
>
>
>
> > Da wir wissen, dass auch x [mm]\in[/mm]
> > A gilt, folgt x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C). Fertig
>
>
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage ist Wahr.
> Im Fall 2 hast du die Aussage [mm]x\in A\cap (B\cup C)[/mm]
> bewiesen.
>
> Nützen würde dir dies, wenn du auch im Fall 1 [mm]x\in A\cap(B\cup C)[/mm]
> zeigen könntest (was aber gar nicht zutrifft).
> Dann hättest (!) du [mm](A\cap B)\cup C\blue\subseteq A\cap (B\cup C)[/mm]
> gezeigt, aber noch nicht [mm](A\cap B)\cup C\blue= A\cap (B\cup C)[/mm].
>
> Aus logischer Sicht hast du nichts wirklich gezeigt.
>
> Aber du kannst aufgrund deiner Überlegungen vermuten, dass
> ein Beweis von [mm](A\cap B)\cup C\blue= A\cap (B\cup C)[/mm] nicht
> so ohne Weiteres zu gelingen scheint.
Ok den 2. Fall haette ich nicht gebraucht, weil im ersten Fall klar wird (zumindest dachte ich das) das die Auassage falsch ist.
> Vielleicht probierst du es dann mal mit einem
> Gegenbeispiel?
Hmm, ok
Also offenbar gilt ja (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)) [mm] \subseteq [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C).
Angenommen ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)) gilt auch.
Dann muss es ein x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C) geben mit x [mm] \in [/mm] C; x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \cap [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C.
Wir wissen aber aufgrund der Voraussetzung x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C), dass
x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B.
[mm] \Rightarrow [/mm] Wiederspruch!
Kann man das so machen?
> Das ist eine von mehreren möglichen sinnvollen
> Herangehensweisen:
>
> i) Du versuchst einfach mal, die Gleichheit aus der
> Aufgabenstellung zu beweisen.
> Wenn dir das gelingt, hast du dich von der Gültigkeit
> überzeugt.
> Wenn dir das nicht gelingt, hast du ein Indiz (aber
> natürlich keinen Beweis) dafür, dass die Gleichheit aus
> der Aufgabenstellung im Allgemeinen möglicherweise nicht
> gilt.
>
> Eine Alternative wäre:
> ii) Probiere an Beispielen für Mengen A, B und C aus, ob
> die Gleichheit aus der Aufgabenstellung für diese
> Beispiel-Wahlen zutrifft oder nicht.
> Falls du auf ein Gegenbeispiel triffst, hast du dich
> überzeugt, dass die Gleichheit aus der Aufgabenstellung im
> Allgemeinen nicht gilt.
> Ansonsten hast du ein Indiz (aber natürlich keinen
> Beweis) dafür, dass die Gleichheit aus der
> Aufgabenstellung vielleicht stets gelten könnte.
>
> Schon vorgeschlagen wurde dir folgende Methode:
> iii) Arbeite mit veranschaulichenden Vorstellungen (hier
> z.B. einem Venn-Diagramm), um zu Vermutungen zu kommen.
Ok, danke!
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 25.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Falls die Gleichheit stets (d.h. für alle Mengen A, B und
> > C) zutrifft, wäre ein Beweis dieser Aussage das Mittel der
> > Wahl zur Begründung.
> > Falls die Gleichheit im Allgemeinen (also für
> mindestens
> > eine Wahl von Mengen A, B und C) nicht zutrifft, ist ein
> > konkretes Beispiel von Mengen A, B und C, für die die
> > Gleichheit nicht stimmt, das Mittel der Wahl zur
> > Begründung.
>
> Also wenn die Aussage wahr waere, haette ich auf die
> Loesung mit einem Formalen (direkten) Beweis kommen sollen.
> Da die Aussage nicht wahr ist kann ich "einfach" ein
> Gegenbeispiel angeben?! Um herauszufinden ob es sich um
> eine wahre oder falsche Aussage handelt, kann ich eine der
> 3 - i) - iii) - unten genannten Methoden probieren.
Ja.
> > > Ok bis hierhin, jetzt muss ich noch Zeigen das x auch in
> > > dem Schnitt mit A drin ist.
> > Wenn du
> >
> > (*) ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C)[mm]\subseteq A\cap (B\cup C)[/mm]
> >
> > zeigen willst, ist genau das zu tun.
> > Aber (*) stimmt im Allgemeinen gar nicht.
>
> Ok, ich muss also wie oben erwaehnt ersteinmal
> herauskriegen ob die Aussage stimmen kann.
>
> > Somit wird dir kein Beweis gelingen.
>
> Auch nicht der Beweis, dass die Aussage falsch ist?
Doch, dieser Beweis (durch ein Gegenbeispiel) wird dir hoffentlich noch gelingen, da bin ich guten Mutes. 
Ich meinte nur, dass dir kein Beweis der Aussage (*) gelingen wird, da (*) im Allgemeinen falsch ist.
> > Du hast grob vereinfacht gesagt in etwa so argumentiert:
> >
> > Fall a): blablabla gilt Dann ist für blablabla
> > nichts mehr zu zeigen.
> > Fall b): blablabla gilt nicht Dann haben wir einen
> > Widerspruch zu blablabla.
> > [mm]\Rightarrow[/mm] blablabla ist falsch.
> >
> > So könntest du von jeder Aussage blablabla "beweisen",
> > dass sie falsch ist!
>
> Ich dachte sobald die Aussage nicht allgemeingueltig ist
> (also nich fuer alle moeglichen Faelle gilt) stimmt sie
> nicht. Und sobald ich mindestens ein Beispiel angeben kann
> fuer das die Aussage nicht gilt ist klar dass die Aussage
> auch im allgemeinen nicht gelten kann.
Genauso ist es.
Allerdings hast du noch kein konkretes Beispiel für Mengen A, B und C angegeben, in dem die Aussage nicht gilt.
Stattdessen hast du (gegeben beliebige Mengen A, B und C) eine Fallunterscheidung gemacht und in einem der Fälle gefolgert, dass die Aussage nicht gilt. Aber möglicherweise liegt dieser Fall eben gar nicht vor.
> > Tatsächlich lässt sich aus den Betrachtungen der Fälle
> > a) und b) nicht folgern, dass blablabla falsch ist.
>
> Aus a) (1.1.) und b) (1.2.) nicht, weil a) (1.1.) ja wahr
> ist, aber auch nicht aus b) (1.2.)?
Nein, setze für blablabla mal die wahre Aussage 0=0 ein (wobei 0 von mir aus die reelle Zahl 0 bezeichnet).
Nach deiner Argumentation könnte ich die Aussage 0=0 wie folgt "widerlegen":
1. Fall: Es gilt 0=0. In diesem Fall stimmt die Behauptung $0=0$.
2. Fall Es gilt [mm] $0\not=0$. [/mm] In diesem Fall ist $0=0$ falsch.
"Also" gilt "im Allgemeinen" nicht 0=0.
Der logische Fehler liegt in der "Also"-Folgerung der letzten Zeile.
Aus logischer Sicht nutzen dir Fallunterscheidungen für Beweise nur, wenn du in allen Fällen (auf möglicherweise unterschiedlichen Wegen) zu der gleichen Schlussfolgerung kommst.
(Nichtsdestotrotz können Fallunterscheidungen auch sonst bei "Methode iii)" helfen.)
> > Dazu müsstest du in beiden (!) Fällen zum Ergebnis
> > "blablabla falsch" kommen.
>
> Aber es ist doch moeglich das die Aussage (vorausgesetzt
> man waehlt die Mengen so das es stimmt) in manchen Faellen
> wahr ist? Wichtig ist ja nur das die Aussage in allen
> moeglichen Faellen nicht wahr ist, oder irre ich mich?
Gegeben bestimmte Mengen A, B und C ist die Gleichung aus der Aufgabenstellung unabhängig von eventuellen Fallunterscheidungen entweder wahr oder falsch.
Gegeben andere Mengen A, B und C ist die Gleichung aus der Aufgabenstellung wieder wahr oder falsch, aber der Wahrheitswert muss nicht mit dem für die erste Wahl der Mengen A, B und C übereinstimmen (wie man sich überlegen kann).
> > Vielleicht probierst du es dann mal mit einem
> > Gegenbeispiel?
>
> Hmm, ok
>
> Also offenbar gilt ja (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)) [mm]\subseteq[/mm] ((A
> [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C)
Ja, das kann man sich klarmachen.
> Angenommen ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm]
> C)) gilt auch.
>
> Dann muss es ein x [mm]\in[/mm] ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C) geben mit x [mm]\in[/mm]
> C; x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\cap[/mm] C und x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] C.
Nein. (Z.B. für [mm] $A=B=C=\emptyset$ [/mm] gilt zwar die Gleichheit aus der Aufgabenstellung, aber es existiert kein solches x.)
> Wir wissen aber aufgrund der Voraussetzung x [mm]\in[/mm] ((A [mm]\cap[/mm]
> B) [mm]\cup[/mm] C), dass
> x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B.
Nein.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wiederspruch!
> Kann man das so machen?
Nein. Du versuchst zu zeigen, dass die Gleichung aus der Aufgabenstellung für beliebige Mengen A, B und C nicht gilt. Das stimmt aber gar nicht.
Ich behaupte: Die Gleichung aus der Aufgabenstellung stimmt für manche Mengen A, B und C und für andere nicht.
Es ist nun zu überlegen, dass für mindestens eine konkrete Wahl von Mengen A, B und C die Gleichheit tatsächlich nicht gilt.
Gib also konkrete Mengen A, B und C (wie z.B. [mm] $\emptyset,\{1,2\},\IN$ [/mm] o.ä.) an, für die die Gleichheit nicht gilt.
|
|
|
| |
|
Hallo tobit09,
danke fuer deine Gedult :).
> Allerdings hast du noch kein konkretes Beispiel für Mengen
> A, B und C angegeben, in dem die Aussage nicht gilt.
> Stattdessen hast du (gegeben beliebige Mengen A, B und C)
> eine Fallunterscheidung gemacht und in einem der Fälle
> gefolgert, dass die Aussage nicht gilt.
Hmm ok. Ich glaube ich habe es verstanden(danke fuer die ausfuehrliche Antwort), wuerde mich dennoch ueber eine Kontrolle freuen.
Wie waere es mit folgendem Ansatz:
Zu zeigen: (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
Wobei ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C) = H und (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)) = F
Um Gleichheit der o.g Mengen zu zeigen muss folgendes gelten:
Voraussetzung: H [mm] \subseteq [/mm] F und F [mm] \subseteq [/mm] H
Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
Dann ist
H = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = {4,5} [mm] \cup [/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
und
F = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = A [mm] \cap [/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
Man sieht, dass F [mm] \subseteq [/mm] H aber H [mm] \not\subseteq [/mm] F
[mm] \Rightarrow [/mm] dass die Aussage falsch ist, da die Voraussetzung immer gelten muss.
Ich glaube es ist von der Schreibweise nicht ganz richtig, kann man das noch ein wenig verkuerzen/verbessern?
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:49 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo tobit09,
>
> danke fuer deine Gedult :).
>
> > Allerdings hast du noch kein konkretes Beispiel für Mengen
> > A, B und C angegeben, in dem die Aussage nicht gilt.
> > Stattdessen hast du (gegeben beliebige Mengen A, B und
> C)
> > eine Fallunterscheidung gemacht und in einem der Fälle
> > gefolgert, dass die Aussage nicht gilt.
>
> Hmm ok. Ich glaube ich habe es verstanden(danke fuer die
> ausfuehrliche Antwort), wuerde mich dennoch ueber eine
> Kontrolle freuen.
>
> Wie waere es mit folgendem Ansatz:
>
> Zu zeigen: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
Das kannst Du nicht zeigen, denn es ist falsch, wie Du unten an einem Beispiel doch zeigst !!
>
> Wobei ((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C) = H und (A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)) = F
>
> Um Gleichheit der o.g Mengen zu zeigen muss folgendes
> gelten:
>
> Voraussetzung: H [mm]\subseteq[/mm] F und F [mm]\subseteq[/mm] H
Das ist doch Unfug. Du schreibst:
"um F=H zu zeigen muss gelten H [mm]\subseteq[/mm] F und F [mm]\subseteq[/mm] H"
Das kann man auch so ausdrücken: Behauptung: F=H. Voraussetzung: F=H.
Siehst Du den Unsinn ?
>
> Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
>
> Dann ist
>
> H = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
>
> und
>
> F = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
>
> Man sieht, dass F [mm]\subseteq[/mm] H aber H [mm]\not\subseteq[/mm] F
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] dass die Aussage falsch ist, da die
> Voraussetzung immer gelten muss.
Hä ????
Kurz und knapp: mit Deinem Beispiel hast Du gezeigt, dass
(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \cup [/mm] $ C = A $ [mm] \cap [/mm] $ (B $ [mm] \cup [/mm] $ C)
im allgemeinen nicht richtig ist.
FRED
>
> Ich glaube es ist von der Schreibweise nicht ganz richtig,
> kann man das noch ein wenig verkuerzen/verbessern?
>
> Gruss
>
> Blutritter
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo FRED,
> > Zu zeigen: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>
> Das kannst Du nicht zeigen, denn es ist falsch, wie Du
> unten an einem Beispiel doch zeigst !!
Ok, nur wie fange ich dann an?
Zu zeigen: (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \not= [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
Etwa so?
> Das ist doch Unfug. Du schreibst:
> "um F=H zu zeigen muss gelten H $ [mm] \subseteq [/mm] $ F und F $ [mm] \subseteq [/mm] $ H"
> Das kann man auch so ausdrücken: Behauptung: F=H. Voraussetzung: F=H.
> Siehst Du den Unsinn ?
Nicht wirklich :(. Ich nehme mal an dass sich die Behauptung und die Voraussetzung in meinem Ansatz nicht unterscheiden wie du schon angedeutet hast, aber welche Voraussetzung muss denn dann gelten bzw muss ich überhaupt eine Voraussetzung angeben?
> > Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > Dann ist
> >
> > H = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > und
> >
> > F = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
> >
> > Man sieht, dass F [mm]\subseteq[/mm] H aber H [mm]\not\subseteq[/mm] F
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] dass die Aussage falsch ist, da die
> > Voraussetzung immer gelten muss.
>
>
> Hä ????
Es wäre schön zu wissen, was genau denn jetzt nicht stimmt und villeicht sogar ein Tipp wie man es besser machen kann :).
>
>
> Kurz und knapp: mit Deinem Beispiel hast Du gezeigt, dass
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>
> im allgemeinen nicht richtig ist.
Hab ich das? Angenommen ich würde das F und das H rauslassen, dann hätte ich nur ein Beispiel angegeben für das die Aussage nicht stimmt richtig?
Wenn ja wie schreib ich das vernünftig auf?
Ich versuche es hier also nochmal:
Wir wissen aufgrund der Überlegungen mit Mengendiagrammen, dass die Aussage:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
falsch ist
Zu zeigen ist dann: (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \not= [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
Dann ist
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = {4,5} [mm] \cup [/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
und
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = A [mm] \cap [/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
Man sieht, dass {4,5} [mm] \subseteq [/mm] {4,5,6,7,8,9} aber {4,5,6,7,8,9} [mm] \not\subseteq [/mm] {4,5}
[mm] \Rightarrow [/mm] dass die Aussage falsch ist, weil die Teilmengenbeziehung der Gleichung nicht in beide [mm] "Richtungen("\subseteq","\supseteq") [/mm] gilt.
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 04.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
In der "Reinschrift" schreibt man nur das Nötigste!
> Zu zeigen ist dann: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C [mm]\not=[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
Die Behauptung ist, dass
[mm] $(A\cap B)\cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$
gilt.
Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
1) Ist die Aussage richtig? Dann beweise die Aussage!
2) Ist die Aussage falsch? Dann widerlege die Aussage!
Wir widerlegen die Aussage!
Also:
Voraussetzung: Es seien $A,B,C$ Mengen.
Behauptung: [mm] $(A\cap B)\cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$.
Gegenbeispiel:
> Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
>
> Dann ist
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
>
> und
>
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
>
> Man sieht, dass {4,5} [mm]\subseteq[/mm] {4,5,6,7,8,9} aber
> {4,5,6,7,8,9} [mm]\not\subseteq[/mm] {4,5}
Die Aussage [mm] $\{4,5\}\subseteq \{4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] kann man streichen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] dass die Aussage falsch ist, weil die
> Teilmengenbeziehung der Gleichung nicht in beide
> [mm]"Richtungen("\subseteq","\supseteq")[/mm] gilt.
Richtig.
(Beachte: Die Aussage [mm] "$\supseteq$" [/mm] wurde nicht gezeigt und sie muss auch nicht gezeigt werden.
Wäre die Behauptung "nur" [mm] $(A\cap B)\cup [/mm] C [mm] \supseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$, dann müsstest du anfangen mit
Voraussetzung: Es seien [mm] $A,B,C\$ [/mm] Mengen.
Behauptung: [mm] $(A\cap B)\cup [/mm] C [mm] \supseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$.
Beweis: ... )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 04.11.2015 | | Autor: | Blutritter |
> In der "Reinschrift" schreibt man nur das Nötigste!
>
> > Zu zeigen ist dann: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C [mm]\not=[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm]
> C)
>
> Die Behauptung ist, dass
>
> [mm](A\cap B)\cup C = A \cap (B \cup C)[/mm]
>
> gilt.
>
> Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
>
> 1) Ist die Aussage richtig? Dann beweise die Aussage!
> 2) Ist die Aussage falsch? Dann widerlege die Aussage!
>
> Wir widerlegen die Aussage!
>
> Also:
>
> Voraussetzung: Es seien [mm]A,B,C[/mm] Mengen.
> Behauptung: [mm](A\cap B)\cup C = A \cap (B \cup C)[/mm].
Ok, es ist also die Behauptung, dass die Aussage wahr ist. Ich habe mich in sofern vertan, dass ich die Behauptung als "zu zeigen" angegeben habe.
> Gegenbeispiel:
>
> > Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > Dann ist
> >
> > (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > und
> >
> > A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
> >
> > Man sieht, dass {4,5} [mm]\subseteq[/mm] {4,5,6,7,8,9} aber
> > {4,5,6,7,8,9} [mm]\not\subseteq[/mm] {4,5}
Ok.
> Die Aussage [mm]\{4,5\}\subseteq \{4,5,6,7,8,9\}[/mm] kann man
> streichen.
Ja diese Aussage ist nicht relevant an dieser Stelle bzw in diesem Beweis.
> > [mm]\Rightarrow[/mm] dass die Aussage falsch ist, weil die
> > Teilmengenbeziehung der Gleichung nicht in beide
> > [mm]"Richtungen("\subseteq","\supseteq")[/mm] gilt.
>
> Richtig.
>
> (Beachte: Die Aussage "[mm]\supseteq[/mm]" wurde nicht gezeigt und
> sie muss auch nicht gezeigt werden.
> Wäre die Behauptung "nur" [mm](A\cap B)\cup C \supseteq A \cap (B \cup C)[/mm],
> dann müsstest du anfangen mit
>
> Voraussetzung: Es seien [mm]A,B,C\[/mm] Mengen.
> Behauptung: [mm](A\cap B)\cup C \supseteq A \cap (B \cup C)[/mm].
>
> Beweis: ... )
Vielen herzlichen Dank!
Gruss
Blutritter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 04.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Blutritter!
Es ist zu zeigen, dass NICHT
[mm] $H:=(A\cap B)\cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)=:F$
gilt.
Also ist zu zeigen, dass NICHT
[mm] $(H\subseteq F)\wedge (H\supseteq [/mm] F)$
gilt.
Dabei ist [mm] $D\wedge [/mm] E$ genau dann wahr, wenn sowohl die Aussage [mm] $D\$ [/mm] als auch die Aussage [mm] $E\$ [/mm] wahr sind.
Durch Negation erhalten wir: [mm] $\neg(D\wedge E)=\neg D\vee\neg [/mm] E$.
In Worten: [mm] $D\wedge [/mm] E$ genau dann falsch, wenn [mm] $D\$ [/mm] falsch oder [mm] $E\$ [/mm] falsch (oder beides falsch) sind.
Also: Um zu zeigen, dass NICHT
[mm] $(H\subseteq F)\wedge (H\supseteq [/mm] F)$
gilt, reicht es zu zeigen, dass NICHT [mm] $H\subseteq [/mm] F$ gilt.
Also genügt folgende Ausführung:
> Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
>
> Dann ist
>
> H = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
>
> und
>
> F = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
Also gilt NICHT [mm] $H\subseteq [/mm] F$ und somit NICHT [mm] $H=F\$.
[/mm]
(Es stimmt zwar, dass [mm] $H\supseteq [/mm] F$ gilt, aber um [mm] $H=F\$ [/mm] zu widerlegen genügt es zu zeigen, dass NICHT [mm] $H\subseteq [/mm] F$ gilt.)
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mi 04.11.2015 | | Autor: | Blutritter |
Hallo DieAcht,
> Es ist zu zeigen, dass NICHT
>
> [mm]H:=(A\cap B)\cup C = A \cap (B \cup C)=:F[/mm]
>
> gilt.
>
> Also ist zu zeigen, dass NICHT
>
> [mm](H\subseteq F)\wedge (H\supseteq F)[/mm]
>
> gilt.
ahh ok, jetzt hab ichs :). Ich dachte man nimmt erstmal an, dass die Aussage wahr ist und zeigt dann mithilfe eines Beispiels das Gegenteil.
Also beispielsweise:
Angenommen A [mm] \subseteq [/mm] B ist wahr.
Dann muss für alle x [mm] \in [/mm] A gelten, dass x [mm] \in [/mm] B.
Wir wissen aber, dass |A| > |B|. Somit kann nicht jedes x [mm] \in [/mm] A auch in B sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] Wiederspruch zur Annahme.
> Dabei ist [mm]D\wedge E[/mm] genau dann wahr, wenn sowohl die
> Aussage [mm]D\[/mm] als auch die Aussage [mm]E\[/mm] wahr sind.
>
> Durch Negation erhalten wir: [mm]\neg(D\wedge E)=\neg D\vee\neg E[/mm].
>
> In Worten: [mm]D\wedge E[/mm] genau dann falsch, wenn [mm]D\[/mm] falsch oder
> [mm]E\[/mm] falsch (oder beides falsch) sind.
Ok, sehr verständlich. Danke!
> Also: Um zu zeigen, dass NICHT
>
> [mm](H\subseteq F)\wedge (H\supseteq F)[/mm]
>
> gilt, reicht es zu zeigen, dass NICHT [mm]H\subseteq F[/mm] gilt.
>
> Also genügt folgende Ausführung:
>
> > Sei nun A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6} und C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > Dann ist
> >
> > H = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = {4,5} [mm]\cup[/mm] C = {4,5,6,7,8,9}
> >
> > und
> >
> > F = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = A [mm]\cap[/mm] {4,5,6,7,8,9} = {4,5}
>
> Also gilt NICHT [mm]H\subseteq F[/mm] und somit NICHT [mm]H=F\[/mm].
>
> (Es stimmt zwar, dass [mm]H\supseteq F[/mm] gilt, aber um [mm]H=F\[/mm] zu
> widerlegen genügt es zu zeigen, dass NICHT [mm]H\subseteq F[/mm]
> gilt.)
Perfekt.
Gruss und vielen Dank!
Blutritter
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Male das Venn-Diagramm.
Schreibe die Mengen auf.
Zeige, dass 6 oder 7 oder beide in der einen, aber nicht in der anderen Menge liegen. (Eine Möglichkeit reicht.)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
