Gleichheit zweier Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^4} dx}
[/mm]
Hinweis: man substituiere [mm] x=\bruch{1}{y} [/mm] |
Die Lösung dazu soll folgendermaßen aussehen:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx} =[/mm][Substitution][mm]\integral_{\infty}^{0}{\bruch{\bruch{1}{y^2}}{1+\bruch{1}{y^4}} * (-\bruch{1}{y^2}) dy} =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{y^4*(1+\bruch{1}{y^4})} dy} =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+y^4} dy}[/mm] So, und hier waren wir fertig und die Aussage galt als bewiesen.
Aber wenn ich jetzt Rücksubstituiere dann erhalte ich mit [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] und [mm]dy = (-\bruch{1}{x^2})dx[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} * (-\bruch{1}{x^2}) dx} \not= \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^4} dx}[/mm] oder irre ich mich?
Ich komm echt nicht drauf, wieso da wo wir aufgehört haben das ganze bewiesen ist. Immerhin muss man y doch noch Rücksubstituieren.
Falls jemand die Stelle findet wäre echt Klasse.
Viele Grüße
und zu guter letzt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Fr 09.02.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo Knackwurst,
nur ganz kurz ein Hinweis:
Du darfst beim Rücksubstituieren nicht vergessen, auch die Grenzen zurückzusubstituieren.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Knackwurst |
Ja das ist schon klar. Hab ich quasi auch gemacht. Leider steht bei [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} \cdot{} (-\bruch{1}{x^2}) dx}[/mm] ein "minus" zuviel, hab das zu spät gesehen und dann nic zum editieren gefunden.
Korrekt müsste es nach resubst. so heissen:
[mm]\integral_{\infty}^{0}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} \cdot{} (-\bruch{1}{x^2}) dx} = \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} \cdot{} (\bruch{1}{x^2}) dx}[/mm]
weil wenn ich die grenzen resubst. dann rechne ich ja quasi "1 durch [mm]\infty[/mm]" und "1 durch 0" wurdurch hier die grenzen "tauschen" und durch das minus kommts wieder in die richitge reihenfolge, also 0 bis [mm]\infty[/mm]
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> J
> Korrekt müsste es nach resubst. so heissen:
>
> [mm]\integral_{\infty}^{0}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} \cdot{} (-\bruch{1}{x^2}) dx} = \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^4}} \cdot{} (\bruch{1}{x^2}) dx}[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^2+\bruch{1}{x^2}} \cdot{} (\bruch{1}{x^2}) dx}= \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{x^4+1} dx},
[/mm]
Und das wolltest Du haben.
Gruß v. Angela
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> Man zeige [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^4} dx}[/mm]
> Hinweis: man
> substituiere [mm]x=\bruch{1}{y}[/mm]
> Die Lösung dazu soll folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{1+x^4} dx} =[/mm][Substitution][mm]\integral_{\infty}^{0}{\bruch{\bruch{1}{y^2}}{1+\bruch{1}{y^4}} * (-\bruch{1}{y^2}) dy} =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{y^4*(1+\bruch{1}{y^4})} dy} =\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+y^4} dy}[/mm]
> So, und hier waren wir fertig und die Aussage galt als
> bewiesen.
Hallo,
ja, die Aussage ist bewiesen, denn nach korrektem Rechnen stehen nun die beiden Integrale durch ein Gleichheitszeichen verbunden da.
Grob gesagt: die Fläche unter [mm] \bruch{x^2}{1+x^4} [/mm] ist genausogroß wie die unter [mm] {\bruch{1}{1+y^4} dy}.
[/mm]
Da muß nichts rücksubstituiert werden, Du hast die Substitution ja durch Anpassung der Grenzen berücksichtigt.
Verwechselst Du das vielleicht gerade mit dem Vorgehen beim Suchen einer Stammfunktion? Beim unbestimmten Integral?
Gruß v. Angela
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Was mich an der Lösung stört, ist die Tatsache, dass da nach subst und resubst kein integral der form [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^4} dx}[/mm] rauskommt. Dass die Fläche gleich ist bezweifel ich nciht. Mich stört halt das zwar die korrekte form aber halt nur mit "y" da steht, wo für mein empfinden und nach aufgaben stellung ein "x" hingehört.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Fr 09.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Namen der Integrationsvariablen haben doch mit dem Wert eines Integrals nichts zu tun! Du beweisst hier die Gleichheit zweier reeller Zahlen, NICHT die Gleichheit zweier Funktionen!
es gilt immer:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+Wurst^4} dWurst}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^4} dx}= \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+y^4} dy}[/mm]
und statt Wurst, x, y kannst du auch andere Namen einsetzen!!
Wenn es dich sehr stoert mach am Ende die "Substitution" x=y!!!
Gruss leduart
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und das y=1/x war ändert dann auch nichts?
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> und das y=1/x war ändert dann auch nichts?
Nein, das ändert nichts. Diese Substitution kannst Du in dem Moment vergessen, in welchem Du sie durchgeführt hast und die Grenzen geändert.
(Wir reden hier von bestimmten Integralen, also solchen mit Grenzen.)
Wenn es einen fröhlich macht, kann man von einem Schritt zum anderen die Integrationsvariablen umtaufen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}=\integral_{a}^{b}{f(u) du}=\integral_{a}^{b}{f(A) dA}=\integral_{a}^{b}{f(n) dn}
[/mm]
Gruß v. Angela
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