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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 So 27.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo Leute!
Hab mal ne frage zu folgender aufgabe:
ich soll zeigen, dass
a) die menge U der ungeraden natürlichen zahlen und die menge der ganzen zahlen gleichmächtig sind.
ich muss ja jetzt zeigen, dass es eine bijektive abbildung von U in Z gibt, also muss ich mir eine abbildungsvorschrift überlegen, die dies erfüllt. die ungeraden zahlen lassen sich doch durch f(x)=2x+1 darstellen. ist das schon eine solche abbildung?
b) das abgeschlossene intervall [mm] [0,1]:=\{ x \in \IR: 0\le x \le 1 \} [/mm] und das offene intervall (0,1):= [mm] \{ x \in \IR: 0 < x < 1 \} [/mm] gleichmächtige teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind. also brauch ich auch hier wieder so eine bijektive abbildung.
wäre sehr dankbar über eine idee, wie sich eine solche abbildung leicht finden lässt.
liebe grüße
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Hallo!
> a) die menge U der ungeraden natürlichen zahlen und die
> menge der ganzen zahlen gleichmächtig sind.
> ich muss ja jetzt zeigen, dass es eine bijektive abbildung
> von U in Z gibt, also muss ich mir eine
> abbildungsvorschrift überlegen, die dies erfüllt. die
> ungeraden zahlen lassen sich doch durch f(x)=2x+1
> darstellen. ist das schon eine solche abbildung?
Das ist in der Tat bereits eine solche Abbildung!
> b) das abgeschlossene intervall [mm][0,1]:=\{ x \in \IR: 0\le x \le 1 \}[/mm]
> und das offene intervall (0,1):= [mm]\{ x \in \IR: 0 < x < 1 \}[/mm]
> gleichmächtige teilmengen von [mm]\IR[/mm] sind. also brauch ich
> auch hier wieder so eine bijektive abbildung.
> wäre sehr dankbar über eine idee, wie sich eine solche
> abbildung leicht finden lässt.
Eine Bijektion fällt mir im Moment leider auch nicht ein. Aber zum Beispiel wäre
[mm] $(0,1)\to[0;1]$, $x\mapsto\begin{cases} 3x-1,& \mbox{falls } x\in\left[\bruch 13;\bruch 23\right],\\
0,&\mbox{sonst.}
\end{cases}$ [/mm] eine Surjektion. Darauf kann man dann doch immerhin schon mal folgern, dass $(0;1)$ mindestens so mächtig ist wie $[0;1]$...
Gruß, banachella
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