Gleichmaechtigkeit von Mengen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 09.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | 5. i) Zeigen Sie die Gleichm¨achtigkeit folgender Mengen (Intervalle):
(0, 1), [0, 1), [0, 1]
ii) Zeigen Sie die Gleichm¨achtigkeit von:[0, 1] und beliebigem [a, b],
von [0, 1) und R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} |
Um Gleichmaechtigkeit zu zeigen, muss man bijektive Abbildung finden.
Fuer [0, 1] und beliebigem [a, b] wird dass einfach lineare Funktion
y = (b-a)x + a . Aber fuer andere?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo waruna, besser spät als nie: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Fiese Aufgabe, auch wenn alle Teile offensichtlich richtig sind, also auch zu zeigen sein müssten.
Vorab doch zu Teil i):
So unterscheiden sich [0,1] und (0,1) ja nur um die Elemente [mm] \{0,1\}. [/mm] Beide Intervalle enthalten unendlich [mm] (\infty, [/mm] genauer: [mm] \aleph_0) [/mm] Elemente, daran ändern die zwei ja nichts.
Ich frage mich, ob Hilberts Hotel hier hilfreich wäre. Kennst Du das? Da hat man ja genau den Unterschied zwischen [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty+1.
[/mm]
Ein Tipp zum 2. Teil von Teilaufgabe ii):
Es ist ziemlich leicht, [mm] \{x\in\IR:x\ge1\} [/mm] auf (0,1] abzubilden. Wenn Du jetzt noch herausfindest, wie man [mm] \IR^+ [/mm] auf [mm] \{x\in\IR:x\ge1\} [/mm] und (0,1] auf [0,1) abbildet, dann kannst Du aus der folgenden Kette Deine Lösung schnell stricken:
[mm] \IR^+ \mapsto \{x\in\IR:x\ge1\} \mapsto [/mm] (0,1] [mm] \mapsto [/mm] [0,1)
Reicht Dir das als Idee?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 09.02.2009 | | Autor: | waruna |
Ja, also kenne ich Hilberts Hotel (aber sehr oberflaechlich). Ich verstehe aber zwei Sachen nicht:
1. funktioniert das auch fuer unabzaehlbare Mengen (wie kann man dann numerieren, wer in 1., 2., ... Zimmer sitzt?)?
2. Ich hatte Definition: Zwei Mengen sich gleichmaechtigt, wenn man bijektive Abbildung finden (zwischen diesen Mengen) kann. Und die Frage: was hat das mit Hilberts Hotel zu tun?:)
Ich schiebe diese Personen, neue bekommen Platz und...?
Also meine Fragen haben gezeigt, dass ich in wirklichkeit Hilberts Hotel nicht kenne :).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mo 09.02.2009 | | Autor: | waruna |
Und wenn es um 2. Teil geht:
Ich habe Probleme, wenn offene (links oder rechts, egal) Intervall ich mit abgeschlossenen vergleichen muss.
Ich kann das sogar nicht zeichnen.
Koennen Sie mir vielleicht ein Beispiel geben, wie das machen soll?
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Hallo waruna,
ja, gern.
Hier ein Beispiel für meine Abbildungskette:
[mm] \IR_0^+ \mapsto \{x\in\IR:x\ge1\} \mapsto \a{}(0,1] \mapsto \a{}[0,1)
[/mm]
Das geht z.B. so:
[mm] \IR_0^+ \mapsto \{x\in\IR:x\ge1\}: \quad x\mapsto \a{}x+1
[/mm]
[mm] \{x\in\IR:x\ge1\} \mapsto \a{}(0,1]: \quad x\mapsto \bruch{1}{x}
[/mm]
(0,1] [mm] \mapsto \a{}[0,1): \quad x\mapsto \a{}1-x
[/mm]
Das muss man jetzt noch zusammensetzen. Damit es nicht so einfach ist, steht überall nur die Variable x...
Kontrolllösung: [mm] \IR_0^+ \mapsto \a{}[0,1) \quad x\mapsto \bruch{x}{x+1}
[/mm]
Nun war allerdings nicht [mm] \IR_0^+ [/mm] gefragt, sondern [mm] \IR^+
[/mm]
Hilft Dir da der Vorschlag von Al-Chwarizmi weiter?
Grüße
reverend
PS: Nehme ich richtig an, dass Du weißt, was das folgende Wort heißt?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Di 10.02.2009 | | Autor: | waruna |
> [mm]\{x\in\IR:x\ge1\} \mapsto \a{}(0,1]: \quad x\mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
Das ist aber bijektive Abbildung (ich glaube, dass es nur injektiv ist, nicht surjektiv)?
> PS: Nehme ich richtig an, dass Du weißt, was das folgende
> Wort heißt?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe keine Achnung was das heisst. Eigentlich kann sich das ueberhaupt nicht lesen (aus welche Buchstaben das besteht...). Das sind solche alt - deutsch Buchstaben?
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Hallo waruna,
> > [mm]\{x\in\IR:x\ge1\} \mapsto \a{}(0,1]: \quad x\mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
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> Das ist aber bijektive Abbildung (ich glaube, dass es nur
> injektiv ist, nicht surjektiv)?
Das kannst Du doch leicht überprüfen. Die Abbildung ist bijektiv, also injektiv und surjektiv zugleich. Wie würdest Du das zeigen?
> > PS: Nehme ich richtig an, dass Du weißt, was das folgende
> > Wort heißt?
[Bild ausgelassen]
> Ich habe keine Achnung was das heisst. Eigentlich kann sich
> das ueberhaupt nicht lesen (aus welche Buchstaben das
> besteht...). Das sind solche alt - deutsch Buchstaben?
Nein, es ist Singhale, liest sich vataru und heißt Wasser.
Da habe ich falsch geraten, pardon.
Grüße,
reverend
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Hallo waruna,
diese Frage ist mit Al's Beitrag wohl erledigt. Genau so gehts.
Grüße,
reverend
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> 5. i) Zeigen Sie die Gleichmächtigkeit folgender Mengen
> (Intervalle):
> (0, 1), [0, 1), [0, 1]
Hallo waruna,
Interessante Frage !
Intuitiv kann man ja sagen: [0,1) enthält genau eine
Zahl mehr als (0,1), nämlich die Null. Einfach zu sagen,
dass bei unendlichen Mächtigkeiten ein Unterschied
von endlich vielen Elementen nichts ausmacht, ist
leicht. Eine bijektive Abbildung von [0,1) auf (0,1)
konkret zu definieren, dürfte aber keineswegs so leicht
sein !
Liebe Grüße Al-Chw.
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Ich habe versucht, eine bijektive Abbildung f
des Intervalls [0,1) auf das Intervall (0,1) zu
definieren. Hier mein Ergebnis:
$\ f(x)\ =\ [mm] \begin{cases} \bruch{1}{2}\,, & \tbox{falls }\ \ x=0 \\ \bruch{1}{n+1}\,, & \tbox{falls }\ \ x=\bruch{1}{n}\ \ mit\ n\in\IN\\ x\,, &\tbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 09.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al,
> Ich habe versucht, eine bijektive Abbildung f
> des Intervalls [0,1) auf das Intervall (0,1) zu
> definieren. Hier mein Ergebnis:
>
> [mm]\ f(x)\ =\ \begin{cases} \bruch{1}{2}\,, & \tbox{falls }\ \ x=0 \\ \bruch{1}{n+1}\,, & \tbox{falls }\ \ x=\bruch{1}{n}\ \ mit\ n\in\IN\\ x\,, &\tbox{sonst} \end{cases}[/mm]
sieht gut aus. Das ist uebrigens gerade die Methode vom Hilbert'schen Hotel :)
LG Felix
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> Hallo Al,
>
> > Ich habe versucht, eine bijektive Abbildung f
> > des Intervalls [0,1) auf das Intervall (0,1) zu
> > definieren. Hier mein Ergebnis:
> >
> > [mm]\ f(x)\ =\ \begin{cases} \bruch{1}{2}\,, & \tbox{falls }\ \ x=0 \\ \bruch{1}{n+1}\,, & \tbox{falls }\ \ x=\bruch{1}{n}\ \ mit\ n\in\IN\\ x\,, &\tbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> sieht gut aus. Das ist uebrigens gerade die Methode vom
> Hilbert'schen Hotel :)
Natürlich - ich habe mich auch davon inspirieren
lassen und nur unterlassen, die Quelle der Inspiration
anzugeben. Wären da noch irgendwelche Patentgebühren
fällig ? Dann wüsste ich nicht, wieviel ich z.B. Euklid
und Pythagoras noch schuldig wäre ... 
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 10.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
ohne dass Felix gepetzt hätte (das kostet jetzt bestimmt noch ein Bier...), wärs mir vielleicht gar nicht aufgefallen. Leider habe ich auch Hilberts Rechte nicht rechtzeitig gekauft.
Ehrlich gesagt habe ich nach dieser (oder einer verwandten) Zuordnung gesucht, aber keine gefunden.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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