(Gleichmäßge) Stetigkeit log x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Untersuchen Sie auf gleichmäßige Stetigkeit: f:[a,∞)->R, (a>0), f(x):= log x |
| Aufgabe 2 | | Untersuchen Sie auf gleichmäßige Stetigkeit: f:(0,∞)->R, f(x):= log x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen. Diese beiden ähnlichen Aufgaben beschäftigen mich zur Zeit. Da ich keinen Ansatz zum lösen hatte, habe ich ein wenig im Internet rumgesucht und folgenden Ansatz gefunden:
"für die log-funktionen ist glm stgkt leicht zu zeigen:
für eps>0 setze del=exp(eps)-1 oder äquivalent eps=log(1+del)
sei nun |x-y|<del, und oE x>y, also x-y<del.
damit: x/y<1+del
dann hat man
|logx-logy|={log monoton steigend}=logx-logy=log(x/y)<log(1+del)=eps
offensichtlich sind die del nur von eps und nicht von x abhängig.
das zeigt die glm stgkeit für 1) und 2) (wobei bei 2) die 0 nicht im defbereich liegen sollte)"
Quelle: http://www.onlinemathe.de/forum/gleichmaessige-stetigkeit-36
Nun stellen sich mir ein paar Fragen:
1. Ist diese Lösung korrekt?
2. Wieso kann man oE x>y annehmen und damit die Betragsstriche weglassen? (Auch unten bei dem Schritt)
3. Wie kommt diese Person auf x/y<1+del
4. Wie würdet ihr das Problem (die Probleme) lösen ??
Vielen dank im Voraus!
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[mm]|x-y|[/mm] berechnet den Abstand zweier reeller Zahlen. Dieser Term ist wegen [mm]|x-y| = |y-x|[/mm] symmetrisch in [mm]x,y[/mm]. Eine der beiden Zahlen ist nun die größere (oder gleich der andern). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das [mm]x[/mm]. Dann kann man [mm]|x-y| = x-y[/mm] schreiben.
Zu Aufgabe 1:
Die Lösungsidee stimmt, allerdings scheint mir doch ein Fehler in der Rechnung zu sein.
Geben wir also [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und setzen wir [mm]\delta = a \left( \operatorname{e}^{\varepsilon} - 1 \right)[/mm]. Offenbar ist [mm]\delta>0[/mm] (beachte die Eigenschaften der Exponentialfunktion).
Nun betrachten wir zwei beliebige Zahlen [mm]x,y \geq a[/mm], deren Abstand voneinander kleiner als [mm]\delta[/mm] ist. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit [mm]x \geq y[/mm]. Dann gilt also:
[mm]0 \leq x-y < \delta \ \ \Rightarrow \ \ x < y + \delta \ \ \Rightarrow \ \ \frac{x}{y} < 1 + \frac{\delta}{y} \leq 1 + \frac{\delta}{a} = \operatorname{e}^{\varepsilon}[/mm]
Bei der letzten Abschätzung wird wesentlich [mm]y \in [a,\infty)[/mm] verwendet.
Und jetzt geht die Rechnung ganz von alleine:
[mm]\left| \ln x - \ln y \right| = \ln x - \ln y = \ln \frac{x}{y} < \varepsilon[/mm]
Hierbei wird sowohl beim ersten Gleichheitszeichen als auch beim Kleinerzeichen verwendet, daß [mm]\ln x[/mm] streng monoton wachsend ist.
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Erstmal vielen vielen Dank für deine Antwort. Klingt alles sehr logisch und nachvollziehbar. Der Schlüssel hier ist also, wie man das [mm] \delta [/mm] wählt. Wie bist du darauf gekommen, das $ [mm] \delta [/mm] = a [mm] \left( \operatorname{e}^{\varepsilon} - 1 \right) [/mm] $ zu wählen? Springt dir so etwas direkt ins Auge oder durch ausprobieren oder gibt es da einen Trick?
Ansonsten dann zur zweiten Aufgabe, wo das Intervall nicht [mm] [a,\infty) [/mm] sondern [mm] (0,\infty) [/mm] ist. Ändern tut sich da dann die Wahl des [mm] \delta, [/mm] richtig? Nach meiner Einschätzung ist die Funktion aber auch gar nicht mehr gleichmäßig stetig, sieht ja ähnlich aus wie 1/x, nur halt im 4. Quadranten. Wie sieht das aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 30.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur 1. Frage: man fängt umgekehrt an und tut dann so, als wäre einem das "richtige" Delta eingefallen. also ist der Ausgangspkt :
$ [mm] \left| \ln x - \ln y \right| [/mm] = [mm] \ln [/mm] x - [mm] \ln [/mm] y = [mm] \ln \frac{x}{y} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
daraus [mm] \frac{x}{y}
zur 2. Frage: an dem a in [mm] \delta [/mm] siehst du schon, dass für x gewgen 0 keine von x unabhängiges [mm] \delta [/mm] mehr gibt.
Du musst nur zeigen, dass man [mm] \delta [/mm] umso kleiner wählen muss, je näher man an 0 kommt.
Gruss leduart
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