Gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 19.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
angenommen ich habe eine Funktion stetige $f(x,y)$ und eine Folge [mm] $y_0 [/mm] $, mit [mm] $(y_n)_n \rightarrow [/mm] y $ (gleichmäßig für $n [mm] \rightarrow \infty$), [/mm] wie kann man bzw. kann man (?) dann zeigen, dass dann auch gilt [mm] $f(x,y_n) \rightarrow [/mm] f(x,y)$ gleichmäßig?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 19.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> angenommen ich habe eine Funktion stetige [mm]f(x,y)[/mm] und eine
> Folge [mm]y_0 [/mm]
[mm] y_0 [/mm] ??????
> mit [mm](y_n)_n \rightarrow y[/mm] (gleichmäßig für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]),
was soll denn das bedeuten für eine Zahlenfolge ???
> wie kann man bzw. kann man (?) dann zeigen, dass dann auch
> gilt [mm]f(x,y_n) \rightarrow f(x,y)[/mm] gleichmäßig?
stelle deine frage präzise !
Fred
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 19.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich wollte das ganze etwas entzerren, das ist alles. Komplett steht es hier auf Seite 65 ![[]](/images/popup.gif) . Es geht hier um den Existenzsatz von Peano, da wo sie [mm] $|z_n(t-\alpha_n)-y(t)|$ [/mm] betrachten. Das
[mm] $y_n$ [/mm] sollte dementsprechend eine Funktionenfolge sein.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mo 21.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich wollte das ganze etwas entzerren, das ist alles.
> Komplett steht es hier auf Seite 65
> .
> Es geht hier um den Existenzsatz von Peano, da wo sie
> [mm]|z_n(t-\alpha_n)-y(t)|[/mm] betrachten. Das
> [mm]y_n[/mm] sollte dementsprechend eine Funktionenfolge sein.
Aha . Damit kann man was anfangen ! Ich übernehme die Bezeichnungen aus obigem Skript. Dort ist J das kompakte Intervall [mm] [x_0,x_0+a].
[/mm]
Wir setzen [mm] y_n(t):= z_n(t-\alpha_n) [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und t [mm] \in [/mm] J.
[mm] (y_n) [/mm] konv. auf J gleichmäßig gegen y. Alle [mm] y_n [/mm] und auch y sind stetige Funktionen. y ist also auf J beschränkt, somit gibt es ein b>0:
-b [mm] \le [/mm] y(t) [mm] \le [/mm] b für alle t [mm] \in [/mm] J.
Weiter gibt es ein [mm] n_1 \in \IN [/mm] mit
y(t)-1 [mm] \le y_n(t) \le [/mm] y(t)+1 für alle t [mm] \in [/mm] J und alle n [mm] \ge n_1.
[/mm]
Wir setzen [mm] J_0:=[-b-1,b+1] [/mm] und haben also:
[mm] y_n(t), [/mm] y(t) [mm] \in J_0 [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] J und alle n [mm] \ge n_1.
[/mm]
$R:=J [mm] \times J_0$ [/mm] ist kompakt, also ist f auf R gleichmäßig stetig.
Nun geben wir ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 vor. Es ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
(*) $|f(t,r)-f(t,s)|< [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] J und alle r,s [mm] \in J_0 [/mm] mit |r-s|< [mm] \delta.
[/mm]
[mm] (y_n) [/mm] konv. auf J gleichmäßig gegen y, also ex. ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit:
[mm] n_0 \ge n_1 [/mm] und [mm] |y_n(t)-y(t)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] J und alle n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Für n [mm] \ge n_0 [/mm] und t [mm] \in [/mm] J haben wir also mit (*):
[mm] |f(t,y_n(t))-f(t,y(t))| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Gruß FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mi 23.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi Fred,
ich hab's gerade gesehen, danke dir.
Viele Grüße,
Reynir
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