Gleichmäßige Konvergenz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe eigentlich den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen verstanden, aber dennoch habe ich Probleme dieses folgende Beispiel zu verstehen. Es soll ein Beispiel dafür sein, dass diese Funktionenfolge punktweise konvergiert, aber nicht gleichmäßig.
Vielleicht könnte mir jemand dieses Beispiel etwas genauer erläutern.
Vielen Dank schon mal!
Beispiel :
Für [mm] n \in \mathbb N [/mm] betrachte die Funktionenfolge:
[mm] f_n : \left[ 0, \infty \right] \to \mathbb R [/mm]
[mm] f_n(x)=\left\{\begin{matrix}
n^2 \cdot x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \bruch{1}{n} \\
-n^2 \cdot x + 2n, & \mbox{wenn } \bruch{1}{n} \le x \le \bruch{2}{n} \\
0, & \mbox{wenn} x \ge \bruch{2}{n}
\end{matrix}\right. [/mm]
[mm] x \ge 0 [/mm], so ist [mm] \limes_{n \to \infty} f_n (x) = 0 [/mm] ( Denn es gibt ein N, dass von x anbhängt, so dass [mm] f_n(x) = 0 \ \forall \ n \ge N [/mm]
( Frage : Das rot - markierte kann ich nicht sehen... Warum konvergiert das gegen 0 für x größer 0 ? Fällt das garnicht ins Gewicht die Werte für x zwischen 0 und [mm] \bruch{2}{n} [/mm] ? )
[mm] \max_{ x \in \left[ 0 , \infty \right] } \{ f_n (x) \} = n [/mm], also
[mm] \limes_{ n \to \infty } ( \max_{x} f(x) ) = \infty [/mm]
[mm]
\integral_0^2 f_n(x) dx = 1 \ \forall n \in \mathbb N, [/mm] also
[mm] \limes_{ n \to \infty } \integral_0^2 f_n (x) = 1 [/mm]
Wie kommen die auf diese beiden Integrale und warum rechnen wir diese überhaupt?
Aus welcher Tatsache folgern wir hier die punktweise, aber nicht gleichmäßige Konvergenz?
Vielen Dank
Irmchen
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> Hallo alle zusammen!
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> Ich habe eigentlich den Begriff der gleichmäßigen
> Konvergenz von Funktionenfolgen verstanden, aber dennoch
> habe ich Probleme dieses folgende Beispiel zu verstehen. Es
> soll ein Beispiel dafür sein, dass diese Funktionenfolge
> punktweise konvergiert, aber nicht gleichmäßig.
>
> Vielleicht könnte mir jemand dieses Beispiel etwas genauer
> erläutern.
>
> Vielen Dank schon mal!
>
> Beispiel :
>
> Für [mm]n \in \mathbb N[/mm] betrachte die Funktionenfolge:
>
> [mm]f_n : \left[ 0, \infty \right] \to \mathbb R[/mm]
>
> [mm]f_n(x)=\left\{\begin{matrix}
n^2 \cdot x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \bruch{1}{n} \\
-n^2 \cdot x + 2n, & \mbox{wenn } \bruch{1}{n} \le x \le \bruch{2}{n} \\
0, & \mbox{wenn} x \ge \bruch{2}{n}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> [mm]x \ge 0 [/mm], so ist [mm]\limes_{n \to \infty} f_n (x) = 0[/mm] ( Denn
> es gibt ein N, dass von x anbhängt, so dass [mm]f_n(x) = 0 \ \forall \ n \ge N[/mm]
>
> ( Frage : Das rot - markierte kann ich nicht sehen... Warum
> konvergiert das gegen 0 für x größer 0 ? Fällt das
> garnicht ins Gewicht die Werte für x zwischen 0 und
> [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ? )
Weil es zu jedem fest vorgegebenen $x>0$ ein $n$ mit [mm] $x\geq \frac{2}{n}$ [/mm] gibt, folgt doch, das für alle [mm] $n\ge [/mm] N:= [mm] \lceil\frac{x}{2}\rceil$ [/mm] gilt, dass [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] ist (gemäss Definition von [mm] $f_n$, [/mm] siehe oben: denn für solche $n$ ist [mm] $x\geq \frac{2}{n}$). [/mm] Da die Wahl von $N$ hier aber von $x$ abhängig ist, haben wir damit nur punktweise Konvergenz [mm] $f_n\rightarrow [/mm] 0$ gezeigt.
>
> [mm]\max_{ x \in \left[ 0 , \infty \right] } \{ f_n (x) \} = n [/mm],
> also
> [mm]\limes_{ n \to \infty } ( \max_{x} f(x) ) = \infty[/mm]
>
> [mm]
\integral_0^2 f_n(x) dx = 1 \ \forall n \in \mathbb N,[/mm]
> also
>
> [mm]\limes_{ n \to \infty } \integral_0^2 f_n (x) = 1[/mm]
>
> Wie kommen die auf diese beiden Integrale und warum rechnen
> wir diese überhaupt?
Um zu zeigen, dass bei dieser auf dem Integrationsintervall $[0;2]$ punktweise konvergenten Folge integrierbarer Funktionen [mm] $f_n$, [/mm] Integral und Limes nicht vertauscht werden können. Denn das Integral der Grenzfunktion ist natürlich $=0$.
> Aus welcher Tatsache folgern wir hier die punktweise, aber
> nicht gleichmäßige Konvergenz?
Weil im Falle gleichmässiger Konvergenz der integrierbaren Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] Limes und Integral über einem kompakten Intervall vertauschbar wären: [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b f_n(x)\; dx=\int_a^b\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)\; dx=\int_a^b f(x)\; [/mm] dx$, was für diese Folge [mm] $f_n$ [/mm] aber nicht der Fall ist. Also kann die Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $0$ nicht gleichmässig sein.
Dies ist analog zur Schlussweise: stetige Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] konvergieren punktweise gegen eine nicht-stetige Funktion [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Konvergenz kann nicht gleichmässig sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
Vielen lieben Dank für diese ausführliche Erläuterung!
Dieses Beispiel habe ich nun wirklich verstanden!
In der Zwischenzeit habe ich mir diese Zusammenhänge nochmal angeschaut und bin dabei auf eine Bemerkung gestoßen. Und zwar:
[mm] \summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n [/mm] ( z komplex )
ist nicht auf ganz [mm] \mathbb C [/mm] gleichmäßig konvergent!
Warum ist das so? Das ist doch kompelxe Exponentialreihe.
Diese konvergiert im reelen absolut, udn soweit ich weiß gilt:
Exp - Funktion ist stetig.
Ist a > 0, so konvergiert [mm] \summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} a^n [/mm] . Für [mm] z \in \mathbb C [/mm] mit [mm] | z | \le a [/mm] ist
[mm] | \bruch{1}{n!} z^n | \le \bruch{1}{n!} a^n [/mm].
Deswegen konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n [/mm] gleichmäßig auf
[mm] \{ z \in \mathbb C \ | \ |z| \le a \} [/mm]
Deswegen ist [mm] \summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n [/mm] stetig auf [mm] \{ z \in \mathbb C \ | \ |z| \le a \} [/mm]. Und dies gilt für jedes a > 0. Deswegen ist exp stetig auf ganz [mm] \mathbb C [/mm].
Warum gilt nicht die gleichmäßige Konvergenz auf ganz [mm] \mathbb C [/mm] ?
Vielen Dank!
Irmchen
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> Hallo !
>
> Vielen lieben Dank für diese ausführliche Erläuterung!
> Dieses Beispiel habe ich nun wirklich verstanden!
>
> In der Zwischenzeit habe ich mir diese Zusammenhänge
> nochmal angeschaut und bin dabei auf eine Bemerkung
> gestoßen. Und zwar:
>
> [mm]\summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n[/mm] ( z komplex )
> ist nicht auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] gleichmäßig konvergent!
>
> Warum ist das so? Das ist doch kompelxe Exponentialreihe.
> Diese konvergiert im reelen absolut,
Ja, für festes $z$ ist die Exponentialreihe auch im Komplexen absolut konvergent. Aber absolute Konvergenz ist eine Form der punktweisen Konvergenz: die Reihe der Absolutbeträge konvergiert (für festes $z$). Die Exponentialreihe konvergiert, wie jede Potenzreihe, nur auf jeder kompakten im Innern des Konvergenzkreises enthaltenen Menge auch gleichmässig gegen die Grenzfunktion. Die Exponentialreihe konvergiert also auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] gleichmässig gegen [mm] $e^z$, [/mm] nicht aber auf ganz [mm] $\IC$.
[/mm]
Grund: Für $|z|$ genügend gross werden die Reststücke für $z>0$
[mm]\left|\sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n!}z^n\right|\geq \frac{1}{(N+1)!}z^{N+1}\rightarrow \infty, \quad\text{für $z\rightarrow\infty$}[/mm]
beliebig gross. Deshalb kann es kein festes [mm] $N\in \IN$ [/mm] geben, das den Betrag dieser Reststücke für alle [mm] $n\geq [/mm] N$ und alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] kleiner als ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] macht.
> udn soweit ich weiß gilt:
>
> Exp - Funktion ist stetig.
Stimmt. Dies ist aber kein Widerspruch: eine Folge von stetigen Funktionen (hier Partialsummen) kann, auch wenn sie nicht gleichmässig konvergiert, gegen eine stetige Funktion (hier die Exponentialfunktion) konvergieren. Was aber nicht möglich wäre: dass eine gleichmässig konvergente Folge stetiger Funktionen [mm] $(f_n)$ [/mm] nicht gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert. Kurz: aus der Wahrheit [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ folgt nicht allgemein, dass [mm] $\neg A\Rightarrow \neg [/mm] B$. Aber es folgt: [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$ (wobei hier [mm] $A:=$'$f_n$ [/mm] sind stetig und konvergieren gleichmässig gegen $f$', $B:=$'$f$ ist stetig').
> Ist a > 0, so konvergiert [mm]\summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} a^n[/mm]
> . Für [mm]z \in \mathbb C[/mm] mit [mm]| z | \le a[/mm] ist
> [mm]| \bruch{1}{n!} z^n | \le \bruch{1}{n!} a^n [/mm].
> Deswegen
> konvergiert die Reihe
>
> [mm]\summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n[/mm] gleichmäßig auf
> [mm]\{ z \in \mathbb C \ | \ |z| \le a \}[/mm]
Diese Abschätzung gilt nur für alle $z$ mit [mm] $|z|\leq [/mm] a$. Was aber, wenn $|z|>a$. Für diese Fall gilt diese Abschätzung nicht. Was Du hier bewiesen hast ist nur, dass die Exponentialreihe auf jeder kompakten Kreischeibe [mm] $\{z\in\IC\;\mid\; |z|\leq a\}$ [/mm] gleichmässig konvergiert.
>
> Deswegen ist [mm]\summe_{ n= }^{ \infty} \bruch{1}{n!} z^n[/mm]
> stetig auf [mm]\{ z \in \mathbb C \ | \ |z| \le a \} [/mm]. Und dies
> gilt für jedes a > 0. Deswegen ist exp stetig auf ganz
> [mm]\mathbb C [/mm].
>
> Warum gilt nicht die gleichmäßige Konvergenz auf ganz
> [mm]\mathbb C[/mm] ?
Dies hat rein gar nichts mit komplexen Zahlen zu tun: die Exponentialreihe konvergiert auch im Reellen nicht gleichmässig. Aber sie konvergiert auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] bzw. im komplexen Fall von [mm] $\IC$ [/mm] gleichmässig.
Man führt in diesem Zusammenhang in der Regel den Begriff der "lokal gleichmässigen" Konvergenz einer Funktionenfolge ein: [mm] $(f_n)$ [/mm] heisst lokal gleichmässig konvergent gegen die (punktweise) Grenzfunktion $f$, wenn es zu jedem $z$ eine Umgebung $U$ von $z$ gibt, auf der die Einschränkungen [mm] $\left(f_n\big|_U\right)$ [/mm] gleichmässig gegen [mm] $f\big|_U$ [/mm] konvergieren. So kann man also bereits aus der lokal gleichmässigen Konvergenz stetiger Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] auf die Stetigkeit der Grenzfunktion schliessen: denn auch Stetigkeit ist ja eine "lokale Eigenschaft" einer Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
VIELEN VIELEN DANK für die Mühe und diese SUPER - ANTWORT  !!!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> VIELEN VIELEN DANK für die Mühe und diese SUPER - ANTWORT
> !!!
Gern geschehen. Apropos "super Antwort" ich habe in der 3. Revision meiner Antwort einen dummen Fehler korrigieren müssen. Ich hätte nämlich schreiben müssen: "Die Exponentialreihe konvergiert, wie jede Potenzreihe, nur auf jeder kompakten, im Innern des Konvergenzkreises enthaltenen Menge auch gleichmässig gegen die Grenzfunktion."
(rot die korrigierte Stelle).
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