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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die beiden Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{nz^{n}}{1-z^{n}} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch {z^{n}}{(1-z^{n})^{2}}
[/mm]
auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe [mm] B_{r} [/mm] := [mm] \{z \in \IC | |z| \le r \} [/mm] mit r [mm] \in [/mm] (0,1) gleichmäßig konvergieren |
Ich hab keine ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll; wäre nett wenn mir jmd. einen Anhaltspunkt geben könnte.
Vielen Dank im Vorraus
in Aufgabe b) ist dann noch zu zeigen dass die beiden Reihen aus a) dieselben holomorphen Funktionen auf der offenen Eiinheitskreisscheibe definieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zeigen Sie, dass die beiden Reihen
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{nz^{n}}{1-z^{n}}[/mm] und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {z^{n}}{(1-z^{n})^{2}}[/mm]
>
> auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe [mm]B_{r}[/mm] := [mm]\{z \in \IC | |z| \le r \}[/mm]
> mit r [mm]\in[/mm] (0,1) gleichmäßig konvergieren
> Ich hab keine ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll;
> wäre nett wenn mir jmd. einen Anhaltspunkt geben könnte.
Du kannst so anfangen:
Zunächst betrachte die erste Reihe:
Für festes $r [mm] \in [/mm] (0,1)$ wählst Du ein [mm] $\tilde{r} \in (r,1)\,.$ [/mm] Dann gilt für alle $|z| [mm] \le \tilde{r}\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{nz^n}{1-z^n}\right|\;\; \underset{\text{da }|\;1-\tilde{r} \le |1|-|z^n|\;| \le |1-z^n|}{\le}\;\; \frac{1}{1-\tilde{r}}\sum_{n=1}^\infty n|z|^n \le \frac{1}{1-\tilde{r}}\sum_{n=1}^\infty n\tilde{r}^{\,n}\,.$$
[/mm]
Damit hast Du eine konvergente Majorante gefunden (dass die letzte Reihe konvegiert, erkennst Du z.B. mit dem Wurzelkriterium). Der Rest folgt mit ![[]](/images/popup.gif) Satz 15.6, Weierstraßsches Majo-Kr..
Bei der zweiten Reihe analog.
> in Aufgabe b) ist dann noch zu zeigen dass die beiden
> Reihen aus a) dieselben holomorphen Funktionen auf der
> offenen Eiinheitskreisscheibe definieren.
Da solltest Du Dir zunächst überlegen, warum die beiden Reihen dort holomorph sind. Weiter geht es dann vielleicht mit dem Identitätssatz oder mit Cauchyprodukt (vll. kann das auch schon bei der Holomorphie helfen) oder oder oder..., da musst Du evtl. mal ein wenig probieren.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 12.11.2008 | | Autor: | marsmaster |
Vielen vielen Dank, hat mir richtig weitergeholfen!
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