Gleichmäßige Konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Gegeben sie die Funktionenfolge [mm] f_{n}:[0,1] \to \IR [/mm] mit
[mm] f_{n}(t):=nt*exp(-2n^{2}t)
[/mm]
Überprüfen Sie, ob die obige Folge gleichmäßig gegen eine Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] konvergiert. |
Hallo ihr Lieben!
Mein Kumpel und ich haben uns heute darüber gestritten, weil ich denke, die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion (da unabhängig von der Wahl des t), während mein Kumpel allerdings dagegen redet.
Könnt ihr uns helfen? Wer hat denn nun recht?
liebe Grüße
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> Gegeben sie die Funktionenfolge [mm]f_{n}:[0,1] \to \IR[/mm] mit
> [mm]f_{n}(t):=nt*exp(-2n^{2}t)[/mm]
> Überprüfen Sie, ob die obige Folge gleichmäßig gegen eine
> Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Mein Kumpel und ich haben uns heute darüber gestritten,
> weil ich denke, die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig
> gegen die Nullfunktion (da unabhängig von der Wahl des t),
> während mein Kumpel allerdings dagegen redet.
> Könnt ihr uns helfen? Wer hat denn nun recht?
Hallo,
es wäre geschickter, würdest Du Deine Argumente hier vorstellen.
Wie argumentierst Du, was sagt Dein Kumpel, und warum meinst Du, daß er nicht recht hat?
(Ich meine auch, daß Du richtig liegst.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Franzie |
Also ich hab mir speziell die Grenzfunktion für t=0 und t=1 gesondert angeschaut und da festgestellt, dass sie gegen f(t)=0 konvergiert. Das gleiche gilt auch für die Werte zwischen 1 und 2. (Allerdings weiß ich nicht, wie ich das mit einer Epsilon-Definition nachweisen soll.)
Für mich ist nur klar, dass egal, welchen Wert t im Intervall [0,1] annimmt, die Funktionenfolge gegen die Nullfunktion konvergiert. Da das Ganze also nicht von der Wahl des t abhängt, ist diese gleichmäßig konvergent.
Mein Kumpel erwähnte ein recht komisches Argument. Er meinte, für t=0 werde bereits der Wert 0 erreicht und damit gilt die Definition [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] bereits für das erste [mm] n_{0}. [/mm] Für t [mm] \not [/mm] =0 entsteht jedoch ein [mm] \varepsilon- [/mm] Schlauch, dessen Breite je nach Wahl des [mm] \varepsilon [/mm] variiert. Damit würde sich also immer das [mm] n_{0} [/mm] verändern, für das [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] gilt.
Aber die Wahl des [mm] n_{0} [/mm] hat doch damit gar nichts zu tun? Ich muss doch lediglich untersuchen, ob die Grenzfunktion noch von t abhängig ist oder etwa nicht?
liebe Grüße
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Hallo Franzi,
also um es erstmal vorweg zu nehmen: Dein Freund hat zumindest mit seiner Argumentation recht, kurz nochmal erklärt:
Für punktweise Konvergenz muss ja gelten:
[mm]\forall\varepsilon\forall x\exists n_0\forall n\ge n_0: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/mm]
Man könnte also auch schreiben: Finde zu [mm] \varepsilon [/mm] und x ein [mm] n_0.
[/mm]
Es ist also ein [mm] n_0(\varepsilon,x), [/mm] also ein [mm] n_0, [/mm] was von beiden Parametern abhängt.
Im Gegensatz dazu die gleichmäßige Konvergenz:
[mm]\forall\varepsilon\exists n_0\forall x\forall n\ge n_0: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/mm]
Wie man erkennt sind hier die Quantoren [mm] \exists n_0 [/mm] und [mm] \forall{x} [/mm] vertauscht, d.h es muss jetzt immer das gleiche [mm] n_0 [/mm] sein in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] und NICHT mehr von x.
Wie erkennt man nun praktisch, dass eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist?
1. Möglichkeit: Man schaut, dass man [mm]|f_n(x) - f(x)|[/mm] so abschätzt, dass das x irgendwann rausfällt und nur noch eine Abhängigkeit von n bleibt.
2. Möglichkeit: Man schaut, dass man zu jedem [mm] n_0 [/mm] ein [mm] x_0 [/mm] findet, so dass [mm] |f_{n_0}(x_0) [/mm] - [mm] f(x_0)| [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] ist, es aber trotzdem ein [mm] n_x [/mm] gibt, so dass [mm] |f_{n_x}(x_0) [/mm] - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Ich hoffe wir konnten deine Verwirrung ein bissl legen.
MfG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Franzie |
Verwirrung perfekt. Was heißt dann denn nun für unser vorliegendes Beispiel? Gleichmäßig konvergent oder nicht?
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Ja, gleichmäßig konvergent........ nur damit wisst ihr immer noch nicht warum.
Der Tip mit dem Maximum wurde ja schon gegeben. Was gilt fürs Maximum?
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit Hilfe der Ableitung sieht man mit [mm] t_n [/mm] : = [mm] \bruch{1}{2n^2}:
[/mm]
[mm] $|f_n(t) [/mm] | [mm] \le |f_n(t_n)| [/mm] = [mm] f_n(t_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2ne}$ [/mm] für t [mm] \in[0,1]
[/mm]
Also konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen 0
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Du hast recht, aber ohne Beweis hilft dir das gar nix!
Wenn so ne Diskussion vorliegt, soll dir dein Kumpel ein [mm] \epsilon [/mm] sagen, nach seiner Wahl, und du musst ihm dann ein [mm] N_0 [/mm] angeben, so dass der Unterschied zwischen fn und der grenzfkt fuer [mm] n>N_0 [/mm] und fuer ALLE t kleiner als sein [mm] \epsilon [/mm] ist. erst dann hast du dein Argument gewonnen. Alles andere ist nicht besser als das Erraten der Lotozahlen vom naechsten Samstag. (fred hat dir ja gezeigt, wie.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sie die Funktionenfolge [mm]f_{n}:[0,1] \to \IR[/mm] mit
> [mm]f_{n}(t):=nt*exp(-2n^{2}t)[/mm]
> Überprüfen Sie, ob die obige Folge gleichmäßig gegen eine
> Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Mein Kumpel und ich haben uns heute darüber gestritten,
> weil ich denke, die Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig
> gegen die Nullfunktion (da unabhängig von der Wahl des t),
> während mein Kumpel allerdings dagegen redet.
> Könnt ihr uns helfen? Wer hat denn nun recht?
Du.
Tipps:
Zeige : $f'_n [mm] \ge [/mm] 0$ auf [0,1]. Damit ist [mm] f_n [/mm] auf [0,1] wachsend und
max{ [mm] |f_n(t)| [/mm] : t [mm] \in [/mm] [0,1] } = [mm] f_n(1)
[/mm]
Zeige : ( [mm] f_n(1)) [/mm] ist eine Nullfolge
FRED
Edit: obiges ist Unfug ! Dennoch nimmt die Funktion in [0,1] ihr Max. an
>
> liebe Grüße
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> > Gegeben sie die Funktionenfolge [mm]f_{n}:[0,1] \to \IR[/mm] mit
> > [mm]f_{n}(t):=nt*exp(-2n^{2}t)[/mm]
> Tipps:
Hallo,
diese Tips sind nicht so gesegnet...
Ich glaube, Du hast die falsche Funktionenfolge am Wickel.
> Zeige : [mm]f'_n \ge 0[/mm] auf [0,1].
Das wird nicht klappen.
Aber übers Maximum nachzudenken ist natürlich nicht übel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Gegeben sie die Funktionenfolge [mm]f_{n}:[0,1] \to \IR[/mm] mit
> > > [mm]f_{n}(t):=nt*exp(-2n^{2}t)[/mm]
>
> > Tipps:
>
> Hallo,
>
> diese Tips sind nicht so gesegnet...
>
> Ich glaube, Du hast die falsche Funktionenfolge am Wickel.
>
> > Zeige : [mm]f'_n \ge 0[/mm] auf [0,1].
>
> Das wird nicht klappen.
>
> Aber übers Maximum nachzudenken ist natürlich nicht übel.
>
> Gruß v. Angela
>
Hallo Angela,
Du hast recht, da hab ich mich vertan.
Werde es so umgehend wie geschwind verbessern
Gruß FRED
>
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:46 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo fred
Die fkt hat ein Maximum im Intervall, d.h. sie ist nicht monoton.
aber man kann das max bestimmem und dann [mm] |f_n-0| [/mm] fuer alle t finden.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Für t [mm] \in [/mm] (0,1]:
[mm] $|f_n(t)| [/mm] = [mm] f_n(t) [/mm] = [mm] \bruch{nt}{e^{2n^2t}}= \bruch{nt}{1+2n^2t+ \bruch{4n^4t^2}{2!}+ ...} \le \bruch{nt}{2n^2t} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n}$
[/mm]
Wegen [mm] f_n(0) [/mm] = 0, haben wir:
[mm] $|f_n(t)| \le \bruch{1}{2n}$ [/mm] für jedes t [mm] \in [/mm] [0,1].
Damit konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] glm. gegen 0.
FRED
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