Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }
[/mm]
[mm] x\in [/mm] IR |
Hallo,
ich habe mit derart Aufgaben noch einwenig Schwierigkeiten.
Ich habe das Wurzelkrit. angwendet und eine Majorante gefunden:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }}=\bruch{\wurzel[n]{x^2}}{1+x^2}
[/mm]
ich weiß, dass die n-te wurzel aus n gegen 1 strebt, aber ich bin mir unsicher ob das auch für die n-te wurzel aus x gilt.
Wenn dies der Fall ist, hätte ich:
[mm] =\bruch{\wurzel[n]{x}*\wurzel[n]{x}}{1+x^2}=\bruch{1}{1+x^2} \le \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Damit hätte ich eine Majorante und mit dem Satz von Weierstraß wäre die Reihe gleichmäßig konvergent.
Stimmen meine Überlegungen?
Lg Melda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise
> bzw. gleichmäßige Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }[/mm]
>
> [mm]x\in[/mm] IR
> Hallo,
>
>
> ich habe mit derart Aufgaben noch einwenig
> Schwierigkeiten.
>
> Ich habe das Wurzelkrit. angwendet und eine Majorante
> gefunden:
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }}=\bruch{\wurzel[n]{x^2}}{1+x^2}[/mm]
>
> ich weiß, dass die n-te wurzel aus n gegen 1 strebt, aber
> ich bin mir unsicher ob das auch für die n-te wurzel aus x
> gilt.
>
> Wenn dies der Fall ist, hätte ich:
>
> [mm]=\bruch{\wurzel[n]{x}*\wurzel[n]{x}}{1+x^2}=\bruch{1}{1+x^2} \le \bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Damit hätte ich eine Majorante und mit dem Satz von
> Weierstraß wäre die Reihe gleichmäßig konvergent.
Das ist Unfug ! Schau Dir das Weierstraßsche Kriterium nochmal an !!
>
> Stimmen meine Überlegungen?
Nein.
Es ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }= x^2* \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n[/mm]
So, nun überlege Dir für welche x diese Reihe punktweise konvergiert. Denke dabei an die geometrische Reihe.
Über die glm. Konvergenz unterhalten wir uns dann später
FRED
>
> Lg Melda
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
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> Es ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }= x^2* \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n[/mm]
>
> So, nun überlege Dir für welche x diese Reihe punktweise
> konvergiert. Denke dabei an die geometrische Reihe.
>
ich habe mit der geometrischen Reihe:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{2+x^2}{1+x^2^}} [/mm] = [mm] \bruch{1+x^2}{2+x^2}
[/mm]
weiter komme ich irgendwie nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
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> >
> > Es ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }= x^2* \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n[/mm]
>
> >
> > So, nun überlege Dir für welche x diese Reihe punktweise
> > konvergiert. Denke dabei an die geometrische Reihe.
> >
>
>
> ich habe mit der geometrischen Reihe:
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{2+x^2}{1+x^2^}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1+x^2}{2+x^2}[/mm]
.... für alle x mit : [mm] \bruch{1}{1+x^2}<1, [/mm] also für welche x ????
>
>
> weiter komme ich irgendwie nicht...
Es ist also $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n x^2}{(1+x^2)^n }= x^2\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n [/mm] = [mm] x^2*\bruch{1+x^2}{2+x^2}$ [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Dh. obige Reihe konvergiert auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen [mm] x^2*\bruch{1+x^2}{2+x^2}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
> >
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{2+x^2}{1+x^2^}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1+x^2}{2+x^2}[/mm]
>
> .... für alle x mit : [mm]\bruch{1}{1+x^2}<1,[/mm] also für welche
> x ????
> >
Für alle x ungleich null????Aber wie kommt man auf [mm] \bruch{1}{1+x^2}???
[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{2+x^2}{1+x^2^}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1+x^2}{2+x^2}[/mm]
> >
> > .... für alle x mit : [mm]\bruch{1}{1+x^2}<1,[/mm] also für welche
> > x ????
> > >
>
> Für alle x ungleich null????
Ja
> Aber wie kommt man auf
> [mm]\bruch{1}{1+x^2}???[/mm]
Die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] ???
FRED
>
>
> Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
>
>
> > Aber wie kommt man auf
> > [mm]\bruch{1}{1+x^2}???[/mm]
>
>
> Die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] konvergiert
> [mm]\gdw[/mm] ???
>
Ich weiß über die geometrische Reihe nur das sie konvergiert und das
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
aber das hat nicht viel mit dem zu tun oder?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> >
> >
> > > Aber wie kommt man auf
> > > [mm]\bruch{1}{1+x^2}???[/mm]
> >
> >
> > Die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] konvergiert
> > [mm]\gdw[/mm] ???
> >
>
>
> Ich weiß über die geometrische Reihe nur das sie
> konvergiert
aber nicht für jedes q !!!
> und das
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-x}[/mm]
oh weh. Ich verrats Dir: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] $|q|<1$
Für $|q|<1$ ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> aber das hat nicht viel mit dem zu tun oder?
Nein, nein. Ich hab nur so aus Juxx und Dollerei oben geschrieben, dass Du an die geometrische Reihe denken sollst. Das mach ich nämlich bei jeder mathematischen Frage , die an mich gerichtet wird.
Spaß beiseite. Oben hatten wir die Reihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n
[/mm]
setzt Du q:= [mm] \bruch{-1}{1+x^2}, [/mm] so siehst Du :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1}{1+x^2})^n [/mm] konvergiert [mm] \gdw \bruch{1}{1+x^2}<1
[/mm]
FRED
>
>
> Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
danke :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> danke :)
Die Frage nach der glm. Konvergenz ist noch nicht geklärt !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
>
> Das ist Unfug ! Schau Dir das Weierstraßsche Kriterium
> nochmal an !!
> >
Ich habe mir das Kriterium nochmal angeschaut und hier steht, dass eine Funktionsreihe absolut und gleichmäßig konvergent ist, wenn ich eine Majorante finde oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > Das ist Unfug ! Schau Dir das Weierstraßsche Kriterium
> > nochmal an !!
> > >
>
>
> Ich habe mir das Kriterium nochmal angeschaut und hier
> steht, dass eine Funktionsreihe absolut und gleichmäßig
> konvergent ist, wenn ich eine Majorante finde oder habe ich
> da etwas falsch verstanden?
Ja, darf denn die Majorante von x abhängen ???
FRED
>
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Di 10.08.2010 | | Autor: | Melda |
>
> Ja, darf denn die Majorante von x abhängen ???
>
> FRED
> >
Nein darf sie nicht. D.h. ich muss mit der Definition arbeiten und das ist mein größtes Problem zur Zeit.
Sie lautet:
a) [mm] (f_{n})_{n} [/mm] konvergiert punktweise gegen f: X-> IR wenn für jedes [mm] x\in [/mm] X stets [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) [/mm] gilt.
[mm] b)(f_{n})_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f: X-> IR wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein (von x unabhängiges) [mm] n(\varepsilon) \in \IN [/mm] gibt mit:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] n [mm] (\varepsilon) [/mm] und alle x
Ich weiß, dass die punktweise und gleichmäßige konvergenz darin unterscheiden, dass die gleichmäßige Konvergenz nicht von x abhängt.
ich versteh jetzt nicht so ganz, was [mm] f_{n}(x) [/mm] und was f(x) sein soll.
Kann mir das mal jemand an einem Beispiel zeigen.
Zum Beispiel bei [mm] f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3} x\in [/mm] [0,5]
Danke im voraus.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Ja, darf denn die Majorante von x abhängen ???
> >
> > FRED
> > >
>
>
> Nein darf sie nicht. D.h. ich muss mit der Definition
> arbeiten und das ist mein größtes Problem zur Zeit.
>
> Sie lautet:
> a) [mm](f_{n})_{n}[/mm] konvergiert punktweise gegen f: X-> IR wenn
> für jedes [mm]x\in[/mm] X stets
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)[/mm] gilt.
>
> [mm]b)(f_{n})_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f: X-> IR
> wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein (von x unabhängiges)
> [mm]n(\varepsilon) \in \IN[/mm] gibt mit:
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] n [mm](\varepsilon)[/mm]
> und alle x
>
>
> Ich weiß, dass die punktweise und gleichmäßige
> konvergenz darin unterscheiden, dass die gleichmäßige
> Konvergenz nicht von x abhängt.
>
> ich versteh jetzt nicht so ganz, was [mm]f_{n}(x)[/mm] und was f(x)
> sein soll.
>
> Kann mir das mal jemand an einem Beispiel zeigen.
>
> Zum Beispiel bei [mm]f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3} x\in[/mm] [0,5]
>
>
> Danke im voraus.
>
>
> Lg
1. Zu [mm] f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3}. [/mm] Gegen welche Funktion f: [0,5] [mm] \to \IR [/mm] konvergiert [mm] (f_n) [/mm] punktweise ? Kriegst Du das hin ?
Für die Frage nach der glm. Konvergenz, brauchst Du die obige Def. nicht, denn f ist nicht stetig (wie Du sehen wirst)
Welcher Satz steckt da dahinter ?
2. Zu Deinem ursprünglichen Problem:
Hier ist [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^i*x^2}{(1+x^2)^i}$ [/mm] und $f(x)= [mm] \bruch{x^2(1+x^2)}{2+x^2}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Di 10.08.2010 | | Autor: | Melda |
>
> 1. Zu [mm]f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3}.[/mm] Gegen welche Funktion
f:
> [0,5] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert [mm](f_n)[/mm] punktweise ? Kriegst Du
> das hin ?
[mm] \wurzel[n]{n}->1 [/mm] und c>0 [mm] \wurzel[n]{c}->1 [/mm] d.h. sie ist punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergent oder?
D.h. [mm] f_{n}(0)->0 [/mm] und [mm] f_{n}(x)->1
[/mm]
>
> Für die Frage nach der glm. Konvergenz, brauchst Du die
> obige Def. nicht, denn f ist nicht stetig (wie Du sehen
> wirst)
>
> Welcher Satz steckt da dahinter ?
das muss ich mir nochmal angucken.
> 2. Zu Deinem ursprünglichen Problem:
>
> Hier ist [mm]f_n(x) = \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^i*x^2}{(1+x^2)^i}[/mm]
> und [mm]f(x)= \bruch{x^2(1+x^2)}{2+x^2}[/mm]
>
ok jetzt ist mir das klar f(x) ist das wogegen [mm] f_{n}(x) [/mm] konvergiert.
Danke!
Lg Melisa
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Hallo,
>
> >
> > 1. Zu [mm]f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3}.[/mm] Gegen welche Funktion
> f:
> > [0,5] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert [mm](f_n)[/mm] punktweise ? Kriegst Du
> > das hin ?
>
> [mm]\wurzel[n]{n}->1[/mm] und c>0 [mm]\wurzel[n]{c}->1[/mm] d.h. sie ist
> punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergent oder?
Wieso schließt du das mit der gleichmäßigen Konvergenz daraus? Die Limiten, die du gerade angegeben hast, helfen doch erstmal nur, die punktweise Konvergenz (und damit die Grenzfunktion) herauszufinden!
> D.h. [mm]f_{n}(0)->0[/mm] und [mm]f_{n}(x)->1[/mm]
Genau. Das heißt wir wissen, dass die Funktionenfolge [mm] (f_{n}) [/mm] auf dem Intervall [0,5] punktweise gegen die Grenzfunktion $f(x) = [mm] \begin{cases}0, \mbox{ falls } x = 0\\ 1,\mbox{ falls } x \in (0,5]\end{cases}$ [/mm] konvergiert.
Begründung: es gilt für alle [mm] $x\in [/mm] [0,5]$: [mm] $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x) [/mm] = f(x).$
> > Für die Frage nach der glm. Konvergenz, brauchst Du die
> > obige Def. nicht, denn f ist nicht stetig (wie Du sehen
> > wirst)
> >
> > Welcher Satz steckt da dahinter ?
>
> das muss ich mir nochmal angucken.
Es gilt der Satz: [mm] $f_{n}:D\to\IR$ [/mm] stetig für alle [mm] n\in\IN, [/mm] und die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] konv. gleichmäßig auf D gegen eine Grenzfunktion f [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig.
> > 2. Zu Deinem ursprünglichen Problem:
> >
> > Hier ist [mm]f_n(x) = \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^i*x^2}{(1+x^2)^i}[/mm]
> > und [mm]f(x)= \bruch{x^2(1+x^2)}{2+x^2}[/mm]
> >
> ok jetzt ist mir das klar f(x) ist das wogegen [mm]f_{n}(x)[/mm]
> konvergiert.
Genau.
Du hast [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{2}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{-1}{1+x^2}\right)^{i}$. [/mm] Nun mach dich mal ![[]](/images/popup.gif) Hier schlau, wie du diese endliche Summe auch ohne "Summe" aufschreiben kannst.
Für die gleichmäßige Konvergenz gilt es dann
[mm] |f_n(x)-f(x)|
[/mm]
zu untersuchen und nach oben durch einen Term abzuschätzen, der unabhängig von x ist. Für welche x ist das möglich?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Di 10.08.2010 | | Autor: | Melda |
>
>
> Genau.
> Du hast [mm]f_{n}(x) = x^{2}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{1}{1+x^2}\right)^{i}[/mm].
> Nun mach dich mal
> Hier
> schlau, wie du diese endliche Summe auch ohne "Summe"
> aufschreiben kannst.
[mm] x^2*\bruch{1+x^2}{x^2}???
[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> > Genau.
> > Du hast [mm]f_{n}(x) = x^{2}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{1}{1+x^2}\right)^{i}[/mm].
> > Nun mach dich mal
> >
> Hier
> > schlau, wie du diese endliche Summe auch ohne "Summe"
> > aufschreiben kannst.
>
>
>
> [mm]x^2*\bruch{1+x^2}{x^2}???[/mm]
na sag mal ? Hast Du denn da nachgesehen, was Stefan Dir genannt hat ?
Stichwort : endliche geometrische Summe
Das sag ich nicht nur so, für Deine Aufgabe kannst Du es wirklich gebrauchen. Ganz ehrlich (Du erinnerst Dich an gestern ?)
FRED
>
>
> Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Di 10.08.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
es ist doch wie gestern:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{1+x^2-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{x^2}{1+x^2}}=\bruch{1+x^2}{x^2}=x^2*\bruch{1+x^2}{x^2}
[/mm]
ich versteh nicht, was ich falsch mache....
Lg
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Hallo!
> Hallo,
>
> es ist doch wie gestern:
>
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{1+x^2-1}{1+x^2}}=\bruch{1}{\bruch{x^2}{1+x^2}}=\bruch{1+x^2}{x^2}=x^2*\bruch{1+x^2}{x^2}[/mm]
>
>
> ich versteh nicht, was ich falsch mache....
Du benutzt die falsche Formel! Es geht nicht um die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe [mm] $\sum_{i=0}^{\infty}q^{i} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$, [/mm] sondern um die Summenformel für die endliche geometrische Reihe [mm] $\sum_{i=0}^{n}q^{i} [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
[/mm]
Diese sollst du nun anwenden, bei dir ist $q = [mm] \frac{-1}{1+x^{2}}$ [/mm] (Achtung, da hatte ich mich vorhin verschrieben!) und es gibt noch einen Vorfaktor.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > >
> > > 1. Zu [mm]f_{n}=\wurzel[n]{n^2*x^3}.[/mm] Gegen welche Funktion
> > f:
> > > [0,5] [mm]\to \IR[/mm] konvergiert [mm](f_n)[/mm] punktweise ? Kriegst Du
> > > das hin ?
> >
> > [mm]\wurzel[n]{n}->1[/mm] und c>0 [mm]\wurzel[n]{c}->1[/mm] d.h. sie ist
> > punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergent oder?
>
> Wieso schließt du das mit der gleichmäßigen Konvergenz
> daraus? Die Limiten, die du gerade angegeben hast, helfen
> doch erstmal nur, die punktweise Konvergenz (und damit die
> Grenzfunktion) herauszufinden!
>
>
> > D.h. [mm]f_{n}(0)->0[/mm] und [mm]f_{n}(x)->1[/mm]
>
> Genau. Das heißt wir wissen, dass die Funktionenfolge
> [mm](f_{n})[/mm] auf dem Intervall [0,5] punktweise gegen die
> Grenzfunktion [mm]f(x) = \begin{cases}0, \mbox{ falls } x = 0\\ 1,\mbox{ falls } x \in (0,5]\end{cases}[/mm]
> konvergiert.
>
> Begründung: es gilt für alle [mm]x\in [0,5][/mm]:
> [mm]\lim_{n\to\infty}f_{n}(x) = f(x).[/mm]
>
> > > Für die Frage nach der glm. Konvergenz, brauchst Du die
> > > obige Def. nicht, denn f ist nicht stetig (wie Du sehen
> > > wirst)
> > >
> > > Welcher Satz steckt da dahinter ?
> >
> > das muss ich mir nochmal angucken.
>
> Es gilt der Satz: [mm]f_{n}:D\to\IR[/mm] stetig für alle [mm]n\in\IN,[/mm]
> und die Folge [mm](f_{n})[/mm] konv. gleichmäßig auf D gegen eine
> Grenzfunktion f [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig.
>
> > > 2. Zu Deinem ursprünglichen Problem:
> > >
> > > Hier ist [mm]f_n(x) = \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^i*x^2}{(1+x^2)^i}[/mm]
> > > und [mm]f(x)= \bruch{x^2(1+x^2)}{2+x^2}[/mm]
> > >
> > ok jetzt ist mir das klar f(x) ist das wogegen [mm]f_{n}(x)[/mm]
> > konvergiert.
>
> Genau.
> Du hast [mm]f_{n}(x) = x^{2}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{1}{1+x^2}\right)^{i}[/mm].
Hallo Stefan,
eine kleine Korrektur:
[mm]f_{n}(x) = x^{2}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{-1}{1+x^2}\right)^{i}[/mm].
Gruß FRED
> Nun mach dich mal
> Hier
> schlau, wie du diese endliche Summe auch ohne "Summe"
> aufschreiben kannst.
>
> Für die gleichmäßige Konvergenz gilt es dann
>
> [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm]
>
> zu untersuchen und nach oben durch einen Term
> abzuschätzen, der unabhängig von x ist. Für welche x ist
> das möglich?
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für die Korrektur!
Ich werde es gleich in meiner Antwort ändern.
Grüße,
Stefan
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