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Gleichmäßige Konvergenz von f: Aufgabe + erste Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Mi 16.05.2007
Autor: laryllan

Aufgabe
Es sei [tex]M \subset \IR [/tex], und für [tex] n = 1,2,... [/tex] sei [tex]f_{n} : M \rightarrow \IR [/tex] durch [tex] x \mapsto \bruch{x}{n} [/tex] definiert. Zeigen Sie:
[tex]f_{n} [/tex] konvergiert genau dann gleichmäßig gegen die Nullfunktion, wenn [tex] M [/tex] beschränkt ist.

Aloha hé,

bei der Aufgabe habe ich zumindest einen Teil gut lösen können. Bei dem zweiten Teil der Äquivalenz tu ich mich noch schwer. Ich zeig erstmal, was ich schon gemacht habe:

[tex] \Leftarrow [/tex]:
Wenn M beschränkt ist, hat M eine untere und obere Schranke. Insbesondere lässt sich [tex] m \in M [/tex] finden mit [tex] |m| \ge |x| \forall x \in M [/tex] (dieser Wert m ist also entweder die untere oder die obere Schranke). Da [tex] [mm] f_{n} [/mm] := [mm] \bruch{x}{n} [\tex] [/mm] gilt auch [tex] |f(m)| \ge |f(x)| \forall x \in M [/tex]. Somit gilt [tex] | \bruch{m}{n} | \ge | \bruch{x}{n} | [/tex]. Ich nenne [tex] | \bruch{m}{n} | = v [/tex].

Sei nun [tex] \epsilon [/tex], wähle [tex] n_{0} \ge \bruch{v}{\epsilon} [/tex], so dass gilt: [tex] |f_{n}(x)| = | \bruch{x}{n} | \le | \bruch{v}{n_{0}} \le \epsilon [/tex]. Somit habe ich die gleichmäßige Stetigkeit gezeigt.

Für die andere Richtung [tex] \Rightarrow [/tex] fehlt mir irgendwie ein schlagkräftiges Argument. Von der Vorstellung her ist es ja vollkommen einleuchtend, dass eine Funktionenfolge, die gleichmäßig konvergiert, nicht "ausreißen" darf.

Würde mich sehr über einen kleinen Hinweis freuen.

Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterarbeitet

        
Bezug
Gleichmäßige Konvergenz von f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Mi 16.05.2007
Autor: wauwau

unabhängig von x soll also folgendes gelten

[mm]\forall \epsilon >0 \exists N_{0} \in \IN [/mm]  [mm]\forall n \ge N_{0} \vmat{\bruch{x}{n}} < \epsilon[/mm]

sei nun [mm] \epsilon_{0} [/mm] und [mm] N_{0} [/mm] nun fix gemäß obigem gewählt

es gilt also also unabhängig von x  
[mm] \vmat{\bruch{x}{N_{0}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{0} [/mm]

[mm] sup_{x\in M}(|x|) [/mm] < [mm] \epsilon_{0}*N_{0} [/mm]

daher ist M beschränkt...


Bezug
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