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| Aufgabe | Welche der Funktionen ist/sind gleichmäßig stetig? Belegen Sie Ihre Aussage!
a)
[mm] f:\IR \ge [/mm] 0 -> [mm] \IR, [/mm] f(x)= [mm] \wurzel[k]{x} [/mm] (k aus [mm] \IN, [/mm] k> 1)
g: [mm] \IR \ge [/mm] 0 -> [mm] \IR, [/mm] g(x)= [mm] x^{k} [/mm] (k aus [mm] \IN, [/mm] k> 1) |
Hallo,
eine Abbildung ist doch gleichmäßgi stetig, wenn
für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 für alle x, [mm] x_0 [/mm] aus D existiert mit:
[mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]
DIe Definitionen kenne ich, aber irgendwie weiß ich überhaupt nicht wie ich das auf die Aufgabe beziehen soll. Könntet ihr mir Tipps geben?
Gruß
Ela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der Funktionen ist/sind gleichmäßig stetig?
> Belegen Sie Ihre Aussage!
> a)
> [mm]f:\IR \ge[/mm] 0 -> [mm]\IR,[/mm] f(x)= [mm]\wurzel[k]{x}[/mm] (k aus [mm]\IN,[/mm] k> 1)
> g: [mm]\IR \ge[/mm] 0 -> [mm]\IR,[/mm] g(x)= [mm]x^{k}[/mm] (k aus [mm]\IN,[/mm] k> 1)
> Hallo,
>
> eine Abbildung ist doch gleichmäßgi stetig, wenn
> für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 für alle x, [mm]x_0[/mm]
> aus D existiert mit:
> [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> DIe Definitionen kenne ich, aber irgendwie weiß ich
> überhaupt nicht wie ich das auf die Aufgabe beziehen soll.
> Könntet ihr mir Tipps geben?
$g\,$ ist NICHT glm. stetig. Sei dazu $\red{\,\delta\,} > 0\,$ bel., aber fest und sei $x_0 \in \IR$ zwar fest, aber
momentan noch nicht näher bestimmt. Es existiert ein $y_0 \in (x_0,x_0+\delta)$ mit
$f\,'(y_0)=\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\,.$
Also
$|f(x_0+\delta)-f(x_0)|=\delta*|f\,'(y_0)|=\delta*k*{y_0}^{k-1}\,.$
Wähle nun etwa $x_0$ so, dass
$\delta*{x_0}^{k-1} \ge \frac{1}{2}\,.$
(Warum geht das? Du kannst auch $x_0$ konkret(er) definieren...)
Wegen $y_0 > ...$ ist dann auch
$\delta*{y_0}^{k-1} \ge \frac{1}{2}\,.$
Damit folgt: Für jedes $\delta > 0$ existieren $x_\delta,y_\delta \in \IR_{\ge 0}$ (genauer $x_\delta:=x_0$
mit $x_0$ wie oben und $y_\delta \in (x_0,x_0+\delta)$ nach dem MWS) so, dass sogar
$|f(x_\delta)-f(y_\delta)| \ge k*\frac{1}{2} \red{\,\ge 1/2}\,,$
OBWOHL $|x_\delta-y_\delta| < \delta$!
Also ist $f\,$ nicht glm. stetig.
(Anschaulich: Plotte Dir mal ein paar Graphen von Funktionen $f=f_k$ wie oben
mit verschiedenen Graphen. "Wenn Du nur weit genug mit $x_0$ nach rechts
gehst", dann ist ersichtlich, dass, auch, wenn Du immer sehr [und gleich weit
entfernt] nahe rechts von $x_0$ bleibst, der Abstand des Funktionswertes
des nahe an $x_0$ liegenden Punktes zum Funktionswert $f(x_0)$ immer
mehr ansteigt... Das nur so als *grobe Anschauung* dessen, was wir oben
formal genauer nachgerechnet haben.)
Zur Funktion $f(x)\,:$
$\left.f\right|_{[0,\,3/2]}$ ist gleichmäßig stetig. (Schlage dazu einen Satz nach,
dessen Inhalt ist: "Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind dort schon
glm. stetig").
Überlege Dir, dass $\left.f \right|_{[1,\infty)}$ auch glm. stetig ist. (Naheliegend
dafür ist: Zeige, dass letztstehende eingeschränkte Funktion sogar
Lipschitzstetig ist - das kann man nämlich einfach mithilfe der Ableitung
machen!)
Bastle das zusammen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Schau mal
![[]](/images/popup.gif) in Buris Antwort No.7
Dort hat er die Verneinung der glm. Stetigkeit formuliert (wobei er eigentlich
am Ende [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] hätte schreiben müssen, aber das ist hier egal,
da die Formulierungen äquivalent sind).
Gruß,
Marcel
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