www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichmäßige Stetigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 So 02.05.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei $b [mm] \in [/mm] ]0,1[$. Zeigen Sie, dass die Funktion $f:[0, b] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\ln (x)}, & x \in] 0, b] \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ [/mm] gleichmäßig stetig, aber zu keinem Exponenten [mm] $\alpha$ [/mm] Hölder-stetig ist.

Hallo,

ich frage mich, ob mit der Aufgabenstellung etwas nicht stimmt. M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass $f'(x) = [mm] -\frac{1}{x \ln^2(x)}$ [/mm] auf $]0,b]$ beschränkt ist, was doch aber gar nicht der Fall ist, denn wegen $x [mm] \ln^2(x) \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt wohl [mm] $\frac{1}{x \ln^2(x)} \to \infty$. [/mm]
Wie seht ihr das?
Gruß und Danke,
Martin

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass [mm]f'(x) = -\frac{1}{x \ln^2(x)}[/mm] auf [mm]]0,b][/mm]beschränkt ist

Da bringst du Lipschitz-Stetigkeit (resp. Dehnungsbeschränktheit) und gleichmäßige Stetigkeit durcheinander…

Jede stetige Funktion ist auf einem Kompaktum gleichmäßig stetig.
Zeige also: $f$ ist stetig auf $[0,b]$.

Als Tipp für die Hölder-Stetigkeit: Es geht in $x=0$ kaputt. Betrachte also mal die Definition der Hölder-Stetigkeit in $x=0$.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mo 03.05.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
mal eine Seitenfrage:
Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste: Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen. Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt. Wie siehst du das? In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl, dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt. Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?
Danke und Gruß,
Martin

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mo 03.05.2021
Autor: fred97


> Hallo,
>  mal eine Seitenfrage:
>  Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und
> gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition
> der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke
> gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste:
> Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich
> beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen.
> Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die
> spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt.


Was ist denn Dein Mentor von Beruf ?


>Wie

> siehst du das?

Sei I ein Intervall und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar und die Ableitung $f'$ sei auf I beschränkt, etwa $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L$ für alle $x [mm] \in [/mm] I.$

Seien nun $x,y [mm] \in [/mm] I$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein $t$ zwischen x und y mit

    $f(x)-f(y) = f'(t) (x-y).$

Es folgt: $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y|$.

Damit ist f auf I Lipschitzstetig und damit auch gleichmäßig stetig.

Zeige diese Ausführungen deinem Mentor, dann lernt er/sie etwas, was er/sie schon längst wissen sollte.


> In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl,
> dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt.

So ist es.

> Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?

Nein. Nimm doch die Funktion aus Deiner Aufgabe und betrachte sie of $]0,b[.$

>  Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mo 03.05.2021
Autor: donmarcos

Hi Sancho,
Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:

Da f auf der kompakten Menge [0,b] definiert ist, genügt es mit dem Satz über gleichmäßige Stetigkeit (2.5.9 aus unserem Skript) zu zeigen, dass f stetig ist.
f ist auf (0,b) stetig, denn f ist Verkettung der stetigen Funktionen ln(x) und [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
Diese Funktionen sind auf (0,1] stetig und somit auch f.

Zu untersuchen ist noch das Verhalten für x [mm] \to [/mm] 0:

Es ist bekannt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(x) = [mm] -\infty [/mm]
Daraus folgt, dass der Kehrwert gegen 0 strebt, d.h. f hat in 0 den Grenzwert 0 und ist somit stetig auf [0,b]

Angenommen f wäre Hölder-stetig zu einem [mm] \alpha \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Dann existiert C mit
|f(x) - f(y)| [mm] \le C|x-y|^\alpha [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,b]

Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] {0} und y = 0. Dann muss für alle x gelten:

|f(x)| = [mm] |\bruch{1}{ln x} \le C|x|^\alpha [/mm]

also

[mm] C^\alpha \ge \bruch{1}{x|ln x|} [/mm]

Die rechte Seite dieser Gleichung wäre also durch eine Konstante nach oben beschränkt.

Das kann aber nicht sein, denn x ln(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0, ein Widerspruch!

(sorry für die etwas holprige Ausarbeitung, ist mein erster Beitrag mit dem Forensystem hier)

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mo 03.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:

Dein Beweis ist soweit ok.

Für die "Schönheit":
Versuch mal deinen Widerspruchsbeweis direkt zu formulieren.
Also direkt zeigen, dass die Funktion NICHT Hölder-Stetig zum Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] ist.

Der Beweis verläuft analog.

Gruß,
Gono



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]